(精)复变函数与积分变换第五章留数z.pptVIP

主 要 内 容 本性奇点的判定方法 二、留数在定积分计算中的应用 本章内容总结 即： 在上半平面内，1+3 i 为一阶极点。 (1) 令 解 (2) (3) (2) 留数 计算方法 留数定理 留数在定积分 计算中的应用 1. 留数的计算 3. 留数在定积分计算中的应用 本章的重点 2. 留数定理及在复变函数积分中的应用 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 5.2 留数 一、留数的概念 将 在 的去心邻域 设 为函数 的孤立奇点， 定义 称 为 在 处的留数， 记作： 内展开成洛朗级数： (两边积分) 其中，C 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。 P83 定义 5.6 (留数的产生) 而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。 二、留数的计算方法 若 为 的可去奇点， 方法 1. 可去奇点 若 为 的本性奇点， 方法 2. 本性奇点 则 “只好” 将 在 的去心 邻域内展开成洛朗级数。 (1) 在具体展开的时候，并不需要写出 “完整” 的洛朗级数， 注 只需将其中负一次幂的系数 求出来就可以了。 (2) 对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的， 则 (1) 若 为 的简单极点， 特别 则 (2) 若 且 在 点解析， 则 P84 法则3 二、留数的计算方法 3. 极点 方法 (法则) 若 为 的 m 阶极点， P84 法则2 是 的可去奇 点， 解 (1) 和 均为 的一阶极点， (2) (罗比达法则) 是 的三阶极点， 解 (1) 为 的二阶极点， (2) 是 的本性奇点， 解 将 在 的去心邻域内洛朗展开， 有 方法一 利用洛朗展式求留数 解 将 在 的去心邻域展开， 得 由于 是 三阶极点， 解 方法二 利用极点的留数计算法则求解 (罗比达法则) 因此有 (好麻烦!) 解 方法二 利用极点的留数计算法则求解 若 “不幸” 将 判断成了 的六阶极点， 巧合? (非也!) 如果 为 的 阶极点, 取正整数 法则4 那么 注 (1) 此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。 (2) 若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式， 而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。 §5.3 留数定理及其应用 一 留数定理 二 留数在定积分计算中的应用 D C … 一、留数定理 处处解析，且连续到边界 C ， 定理 设 在区域 D 内除有限个孤立奇点 外 注意 只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。 如图，将孤立奇点用含于 D 内且 证明 互不重叠的圆圈包围起来， 根据复合闭路定理有 则 P86 定理 5.7 利用留数定理计算复围线积分的步骤： 1 明确积分曲线及内部奇点 2 确定奇点类型,计算留数 3 应用留数定理,求积分 解 被积函数 在 内有两个奇点： 可去奇点 一阶极点 解 被积函数 在 内有两个奇点： 一阶极点 二阶极点 解 方法一 利用极点的留数计算法则求解 (罗比达法则) 为被积函数 的二阶极点， 方法二 利用高阶导数公式求解 方法三 利用洛朗展式求解 解 将被积函数 在 的去心邻域展开， 极点z=