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两个矩阵同时相似对角化的MATLAB程序 　　摘 要：使用Matlab语言设计出实现两个复矩阵同时相似对角化的计算机程序。 　　关键词：同时相似对角化；Matlab；程序 　　矩阵对角化是重要的数学方法，但因其计算过程繁琐，人们往往望之生畏，尤其是多个矩阵同时对角化问题，因此本文设计出判断及计算两个复矩阵能否同时相似对角化的Matlab程序，用此能够方便地解决两个复矩阵同时相似对角化问题。 　　1. 理论基础 　　定义[1] ：设A 、 B是数域 F上两个n 阶矩阵，若存在f 上的 n阶可逆矩阵t ，使得T-1AT 与T-1BT 同时为对角矩阵，则称A 、 B可同时相似对角化. 　　定理 [1]： 设A 、B 都是复数域C上的n 阶矩阵，若AB=BA 且 A、B 都可对角化，则存在可逆的T，使得 T-1AT、 T-1BT同时为对角形. 　　证： 因为A 可对角化，所以存在可逆的P，使得 　　其中 ?d1，…， ?d互不相同且n1+...+ns=n .又 AB=BA（P-1AP）（P-1BP）=（P-1BP）（P-1AP），所以 　　是准对角矩阵.其中Bi 是 ni阶方阵（ i=1，2，…，s）.但因为B可对角化，所以它的初等因子都是一次的，于是Bi 的初等因子都是一次的，所以存在 ni 阶可逆方阵 Qi，使得 Qi-1BiQi（ i=1，2，…，s）为对角形，于是令 Q=diag[Q1，...，Qs]，则必有 　　是对角形.于是令T=PQ ，则 T可逆，并且 　　同时都是对角形. 　　2. 算法设计 　　定理给出了判定两个矩阵能否同时相似对角化的条件，定理的证明给出了两个矩阵同时相似对角化的方法，据此设计算法如下： 　　Step1. 依次判定是否AB=BA 、 B是否可以相似对角化、 A是否可以相似对角化，若均是则转 ，否则输出A与B不能同时相似对角化（在MATLAB中可使用命令[P，D]=eig（A）求出一个矩阵P 及对角矩阵 D，再计算P 的行列式的值即可断定 A能否相似对角化）。 　　Step2. 确定A 的特征根的个数s 及每个特征根的重数ni ，并将 D改写为D=d iag[?d1ni，...， 　　?dsns] （ ?d1，...，?ds是 A的互不相同的特征根， ni是 ?di的重数），且对P 的列按照 D中 ?di 的次序进行排列； 　　Step3. 计算P-1BP=diag[B1，...，Bs] ，且求变换矩阵Qi ，使 Qi-1Bi Qi （i=1，...，s）为对角形； 　　Step4. 令Q=diag[Q1，...，Qs] ， T=PQ，则 T-1AT、 T-1BT同为对角形。 　　算法的关键步骤是计算P-1BP=diag[B1，...，Bs] ，而其中的P 必须由以下形式的D 来确定： （ D=d iag[?d1ni，...，?dsns]（ ?d1，...，?ds是 A的互不相同的特征根， ni是 ?di的重数，n1+...+ns=n），而P 的第i 列 ?gi与 D的对角线上的第 i个元素?di 相对应，即?gi 是A 属于?di 的特征向量。然而MATLAB的相似对角化命令[P，D]=eig（A）所求出的 P与 D未必满足要求，所以必须将MATLAB所求出的 P与 D变形为我们所需要的P 与D ，为此就应该对MATLAB所求出的 D的对角线上的元素重新排列、同时对 P的列也做相应的排列，具体方法是：扫描 的对角线上的元素，每次扫描确定一个特征根的重数，并将该次扫描所得到的相同的特征根集中排列在一起，并对P 的列做同步排列，同时对扫描处理过的元素做出特定的标记，通过若干次扫描而求得 A的特征根个数 s与每个特征根 ?di 的重数ni ，并得到所需要的P 与D。据此思想设计算法如下： 　　while kn Do： 　　for i=1 to n Do： 　　if 已被标记，那么继续 ； 　　否则将?di 作为一个新的特征根，令：s=s+1（统计特征根个数），k=k+1（已处理过的特征根的个数），ni（s）= ni（s）+1（统计 重数），m=i（记忆最近处理过的 ?di的位置）， ?di=b（对 ?di做已处理标记）； 　　for j=i+1 to n Do： 　　if ?dj已被标记，那么继续 ?dj+1； 　　else 如果 ?dj= ?dm，那么令：ni（s）= ni（s）+1（ ?di 增加重数），k=k+1（又处理一个）； 　　if j-m=1 （即 ?dj与?dm 相邻），那么 D与P 都不必重排； 　　else 需要交换 P的第 m+1与第 j列，为此构造初等方阵Pij=Pm+1，j ，令P=P*Pij ，同时相应交换 D的元