2009届高三数学第二轮复习（不等式的应用）.docVIP

第十四讲 不等式的应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.（2008安徽文） 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( C ) A． B．1 C． D．5 2．（2008北京文）若实数满足则的最小值是（ A ） (A)0 (B) (C) 1 (D)2 3．（2008北京理）若实数满足则的最小值是（ B ） A．0 B．1 C． D．9 4．(2008福建文)若实数x,y满足 ，则的取值范围是（　D　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5.(2008福建理) 若实数x、y满足，则的取值范围是（C ） A.(0,1) B. C.(1,+) D. 6.（2008安徽理）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 7、.(2008全国Ⅰ卷文、理)若满足约束条件 则的最大值为 9 ． 7.答案：9．如图，作出可行域， 作出直线，将平移至过点处 时，函数有最大值9. 8、2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得 目标函数为． 二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图： 作直线， 即． 平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值． 联立解得． 点的坐标为． （元） 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． ★★★高考要考什么 不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题. ★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。 （1）求的值； （2）当满足时，求函数的最小值。 解：（1）由已知得 于是 （2）由 即 由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立， ∴时的最小值是－3. 【范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1. (1)证明：|c|≤1； (2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2； (3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x). 命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目. 知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂. 错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局. 技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系. (1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1. (2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是 g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1). ∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2， g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2， 因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)； 当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)， ∵|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1 ∴|