南京航空航天大学矩阵论11-12试卷及答案.docVIP

南京航空航天大学2011级硕士研究生 共 5 页 第 1 页 2011 ~ 2012学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷 考试日期：2012年1月9日，： 学院 专业 学号 姓名 成绩 一（20分）设。 （1） 求的特征多项式和的全部特征值； （2） 求的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式； （3） 写出的Jordan标准形。 （1）， 3’ 的特征值； 3’ （2）的行列式因子； 3’ 的不变因子； 3’ 的初等因子； 2’ 的最小多项式; 1’ （3）的Jordan标准形。 5’ 共 5 页 第 2 页 二（20分）（1）设，求； （2）设，证明： （i）对阶酉矩阵和阶酉矩阵，有； （ii）若，为的全部正奇异值，则。 （1） 2?页; 4? ; 2? . 2?(2)(i) 0 5?(ii) 因为，则由奇异值分解定理知，存在阶酉矩阵和阶酉矩阵，使得，其中，从而 5’ 共 5 页 第 3 页 三（20分）设，. （1） 计算A的满秩分解； （2）计算广义逆矩阵； （3）用广义逆矩阵判定线性方程组是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。 （1）； 8’ （2） 2’ 6’ （3）因为，所以不相容。 2’ 的极小最小二乘解为。 2’ 共 5 页 第 4 页 四（20分）（1）设，判断是否是正定或半正定矩阵，并说明理由； （2）设是n阶Hermite正定矩阵，是n阶Hermite矩阵，证明：相似于实对角矩阵； （3）设，均为n阶Hermite矩阵，并且，是的特征值，证明：存在的特征值和的特征值，使得。 （1）因为的顺序主子式，所以不是正定的。 4’ 因为有一个主子式或，所以也不是半正定的。 4’ （2）因为是n阶Hermite正定矩阵，则存在可逆Hermite矩阵，使得，从而相似于。 3’ 又因为是Hermite矩阵，则是Hermite矩阵。由Hermite矩阵的谱分解相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，相似于实对角矩阵。 3’ （3）因为，均为n阶Hermite矩阵，并且，则存在n阶酉矩阵，使得 。 3’ 从而，即相似于对角矩阵。因此