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由最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的异同 朱欢 内蒙古科技大学 内蒙古包头市 014010 摘要：本文主要先介绍极大验后估计，最小二乘估计，明白其的概念和特点，再介绍什么是最小二乘配置，通过最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的异同， 关键词：极大验后估计、最小二乘估计、最小二乘配置 一、极大验后估计 1. 极大验后估计概念和原理 极大验后估计是以(x/)=max为准则的估计方法，这个准则的含义在直观上比较明显，它的含义是：给定了L的一组子样观测值l可以按一定的概率取的参数X的不同估计其中最佳估计的条件概率密度(x/)应为最大值，一般用MA或MA（L）表示有极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值，显然，MA应满足 =0 次方程称为验后方程 因为 (x/)= 将上式对x求导，则有 = 由此可知，极大验后估计的准则式等价于 2极大验后估计特点 由于极大验后估计考虑参数X的先验统计特性，因此，当参数的先验期望和先验方差DX已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计，此时，极大验后估计值的误差方差要小于其最小二乘估值的误差方程。 二、最小二乘估计 1最小二乘估计概念和原理 被估计量是t维未知的参数向量X，观测向量为(n1),其观测误差向量为 ，观测方程 L=BX+ 式中的秩rk（B）=t，E（）=0，D()=,设X的估值为,则有 V=B-L 所谓最小二乘估计，就是要求估计值使下列二次型达到最小值，即 （）=VTPV=(B-L)TP(B-L)=min 其中是一个适当选取的对称正定常数阵，称为X的最小二乘估值，记为LS 最小二乘估计量的估计误差为 =X-=X-(BTPB)-1BTP(BX+)=-(BTPB)-1BTP 由此式按协方差传播律可得X的误差方差阵为 D()=(BTPB)-1BTPPB(BTPB)-1 将正定对称阵表示为=RTR(R为可逆矩阵)，并令 a=BTR-1 b=RPB(BTPB)-1 则得： ab=BTR-1RPB(BTPB)-1=E 且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得： D()=bTb(ab)T(abT)-1(ab)= (abT)-1 有时将P取为或时的估计称为马尔科夫估计，此时应将该式写为 VTV=min 2、最小二乘估计性质 （1）最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量LS是观测值的线性函数。 （2）当观测误差的数学期望为E()=0时，因 E(L)=BX 所以 E(LS)= (BTPB)-1BTPE(L)= (BTPB)-1 BTPBX=X 即LS具有无偏性。 （3）当观测误差的方程阵为,而取P=或P=时LS误差方差阵达到最小值。 （4）最小二乘估计不需要X的任何先验统计信息，当X是非随机量，或X虽然是随机量，但完全不考虑其先验统计信息时，由观测方程协方差传播定律可知 DL=D =D() 三、最小二乘配置模型分析最小二乘估和极大验后估计计异同 1、最小二乘配置的模型 若设重力异常的随即部分（信号），若在这n个点上得到了重力异常观测值，噪声（观测误差）为，则在这几个观测点上的重力异常值应为： =L-=GY+X（1） 而对于未测点，若用X’表示这些点上的信号，则应按下式内插他们的重力异常值 =+X’ （2） 式中的计算公式与得计算公式相似，可得观测公式 L=GY+X+ （3） 用最小二乘配置法球重力异常，就是以（3）式为数学模型来确定信号X，X’和倾向参数Y’的最佳估值,和，然后由（1），（2）式求得各重力异常最佳估值。在数学模型（3）中，既包含有倾向参数Y，又包含有信号X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号的最优估计值地方法，就是最小二乘配置法。 2、分析二者不同 在最小二乘成配置的估计公式和最小二乘配置的估计公式的推导过程中 （1）当0、时此时最小二乘配置的估计公式为 -1 （2）当,时，上两式为 此时极大验后滤波和推估公式 当,时，上两式为 和 此时可以看出二者在X和X’极其方差是完全相同的 在最小二乘配置中的数学模型中，既包含有倾向参数Y,又包含有信号X,它是一种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号大的最优估值的方法，当倾向参数Y=0时，既是最小二乘配置的模型。而在极大验后估计中具有随机参数向量，最后取参数X的最佳估计值的条件概率密度。由此可见最小二乘配置和极大验后估计在解求函数思想上时一致的，都是根据随机参数求函数极大值的过程。在最小二乘配置中，最小二乘估计函数模型是最小二乘配置的特例，不需要求定向参数Y，而只求函数最小值。他们都是利用最小二乘法来求函数最优值，而且在特定条件下，最下二乘估计还可以由极大验后估计导出，所以他们之间有共同性。 参考文献 【1】崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰。广义测量平差。北