线性代数 Matlab 应用例子.docVIP

营养食谱 例. 需设计一份营养食谱，其中包括四种食物，需提供一定量的钙、铁、维生素A和维生素B。每单位这些食物提供的营养及需要提供的营养由下表给出. 食物 钙 铁 维生素A 维生素B A 20 5 5 8 B 10 5 15 10 C 10 10 5 10 D 15 15 10 20 要求 70 35 35 50 试确定食谱中各种食物的含量。 解. 设一单位食谱中四种食物的含量分别为, 则满足如下线性方程组 A = sym([20 10 10 15; 5 5 10 15; 5 15 5 10; 8 10 10 20]); b = sym([70; 35; 35; 50]); A \ b ans = [ 60/29] [ 23/29] [ 18/29] [ 28/29] null(A) ans = [ empty sym ] 方程组有唯一解. , , ，. 即单位食谱中四种食物的含量分别为, , ，单位时，能提供所需的营养. 投入产出模型 例 设某国的经济由煤炭、电力、钢铁三个部门组成，各部门之间的分配如下表所示 部分的产出分配 采购部门 煤炭 电力 钢铁 0.0 0.4 0.6 煤炭 0.6 0.1 0.2 电力 0.4 0.5 0.2 钢铁 表中第2列表示电力的总产出分配如下：40%给煤炭部门，10%给电力部门，50%给钢铁部门。用表示煤炭、电力、钢铁部门产出的总价格，如果可能，求使得每个部门收支平衡的价格。 解. 煤炭部门的产出为，投入为，投入=产出，所以 对电力部门和钢铁部门类似分析，可得 需解齐次线性方程组 ，其中 A = sym([1 -.4 -.6; -.6 .9 -.2; -.4 -.5 .8]); N = null(A) N = 31/33 28/33 1 方程组有解. 当煤炭、电力、钢铁的产出分别为31单位, 28单位, 33单位时，可实现投入产出平衡。 配平化学方程式 例. 配平下列化学方程式 解. 碳、氢、氧的原子数目在反应前后相等 得如下齐次线性方程组 A = sym([3 0 -1 0; 8 0 0 -2; 0 2 -2 -1]); null(A) ans = [ 1] [ 5] [ 3] [ 4] , , , 配平后的化学方程式为： 多项式插值 例 设抛物线经过下列点, . 求抛物线方程. xi 1 2 3 yi 2 3 5 解1. 将三点坐标代入抛物线方程，得方程组 写成矩阵形式 系数矩阵为Vandermonde矩阵, Matlab中可调用vander([x1,x2,…,xn]) 生成. x = [1 2 3]; A = vander(x) A = 1 1 1 4 2 1 9 3 1 y = [2 3 5]; a = A \ y. a = 0.5000 -0.5000 2.0000 即, , . 所求抛物线为 . 也可用polyfit 函数求系数 a. a = polyfit (x, y, 2) a = 0.5000 -0.5000 2.0000 画图 t = linspace(0, 4, 100); f = polyval(a, t); plot (t, f, x, y, r*) 数据拟合 例 求形如的经验公式，使它与下列数据拟合. xi 1 2 3 4 yi 3.2 5.3 9.5 11.0 解 考虑如下方程组 x = [1 2 3 4]; y = [3.2 5.3 9.5 11.0].; A = [x. ones(4,1)] rank(A) ans = 2 rank([A y]) ans = 3 ，方程组无解. 求最小二乘解，即求使得 . 由最小二乘法知，满足方程 ，. coef = inv(A.*A) *A.*y coef = 2.7600 0.3500 也可以直接用A左除y 给出最小二乘解 coef = A \ y coef = 2.7600 0.3500 或用polyfit coef = polyfit(x, y, 1) coef = 2.7600 0.3500 拟合直线方程为. t = linspace(0, 5, 100); f = polyval(coef, t); plot (t, f, x, y, r*) 人口迁移 例 某国每年农村迁