数值计算方法复习题2.docVIP

习题二 1. 已知 ，求 的二次值多项式。显示答案 2. 令 求 的一次插值多项式，并估计插值误差。解：显示答案 ； ， 介于x和0，1决定的区间内；，当 时。 3. 给出函数 的数表，分别用线性插值与二次插值求 的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 ?4. 设 ，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。显示答案5. 已知 ，求 及 的值。1，0显示答案6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。， X 1.615 1.634 1.702 1.828 1.921 F (x) 2.41450 2.46459 2.65271 3.03035 3.34066 7. 已知函数 的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f (x) 1.00 1.32 1.68 2.08 2.52 3.00 解：向前插值公式 向后插值公式 显示答案8. 下表为概率积分 的数据表，试问：1） 时，积分 2） 为何值时，积分 ？。 X 0.46 0.47 0.48 0.49 P 0.484655 0.4937452 0.5027498 0.5116683 9. 利用 在 各点的数据（取五位有效数字），求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。0.337648910. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。 x 0 1 y 0 1 y￠ －3 9 11. 依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。 X 0 1 2 Y 0 －2 3 y￠ 0 1 ? 显示答案12. 在 上给出 的等距节点函数表，用分段线性插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问函数表的步长h应怎样选取？显示答案 13. 将区间 分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。显示答案 显示答案14、给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限 解：　仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限，故 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少? 解：用误差估计式， 令因得 若，求和 解：由均差与导数关系 于是 若互异，求的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 求证 解：只要按差分定义直接展开得 19、已知的函数表 求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表 当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得 由于 20、给定f(x)=cosx的函数表 用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差. 解：计算，用n=4得Newton前插公式 误差估计 其中计算时用Newton后插公式（5.18) 误差估计得 这里仍未0.565 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列. 解：因 23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差. 解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数 法方程为 解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为 1) 满足条件插值多项式p(x)=( ). 2) ,则f［1,2,3,4］=？，f［1,2,3,4,5］=？. 3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝？，＝？. 4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝？，＝？； 8