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课程：系统辨识题目：最小二乘法上机实习指南（II）2014.06.06目录引言 --------------------------------------------------------------------- 1实验内容 --------------------------------------------------------------- 22.1 实验方法 ------------------------------------------------------------- 22.1 实验步骤 ------------------------------------------------------------- 73、 实验结果与分析 ------------------------------------------------------ 74、 实验体会 --------------------------------------------------------------- 165、 实验代码 --------------------------------------------------------------- 16 【引言】 最小二乘法是一种经典的有效的数据处理方法,它是1975年高斯在预测行星和彗星运动的轨道时提出并实际使用的。 在系统辨识和参数估计领域中，最小二乘法是一种最基本的估计方法。它可用于动态系统，也可用于静态系统；可用于线性系统，也可用于非线性系统；可用于在线估计，也可用于离线估计。在随机的环境下利用最小二乘法时，并不要求知道观测数据的概率统计信息，而这种方法所获得的估计结果，却有相当好的统计性质。在系统辨识和参数估计领域中，应用最广泛的估计方法是最小二乘法和极大似然法。在《系统辨识基础》一书中主要讲述了最小二乘法的以及以最小二乘法为基础的辅助变量法、光以最小二乘法、增光最小二乘法、相关最小二乘法和多阶段最小二乘法等估计方法。紧接着上一次关于最小二乘法的简单实验，在本实验中，由题目给定一个稳定系统参数及其激励信号u(k)。此外，实验题目中另外设定了由新息序列组合形成的MA模型噪声e(k)，一般地，由于这些特殊的噪声存在，采用广义最小二乘法、增广最小二乘法、辅助变量法等方法取得的辨识参数效率准确率比较高。【实验方法与实验步骤】 实验方法批处理方法给定时不变SISO动态系统y(k)=-a1y(k-1)-a2y(k-2)+…+any(k-n)+b0u(k)+b1u(k-1)+…+bnu(k-n)+e(k)其中已知输入输出数据 {u(k), y(k), k=0,1,2,…,n+N}则有： θ=[a1 a2 … an b0 b1 b2 … bn]T φ(k)=[-y(k-1) -y(k-2) … -y(k-n) u(k) u(k-1) … u(k-n)]T 二次残差指标 其中W为加权系数矩阵；求对的偏导数并使之为0，即可解出 在本实验最小二乘批处理方法中，首先设定稳定系统为：y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-1)+e(k)其中u(k)为M序列，e(k)为高斯白噪声，y(k)为输出。算法具体实现及其结果请看【实验结果】及【附件：实验代码】部分。（2）最小二乘递推方法在（1）中所得的公式结果中，继续单项增加输入输出数据，逐渐递推出增加数据后的参数估计结果，得到的最小二乘估计递推算法如下： 递推过程为：1得到2计算 下一步递推3利用下式作为递推算法的停机准则：式中 为参数向量的第i个元素在N+1次递推计算结果。为给定的表示精度要求的某一正数。算法具体实现及其结果请看【实验结果】及【附件：实验代码】部分。（3）辅助变量法（工具变量法 Instrumental Variable , IV）辅助变量一次完成算法对于线性模型 ；从加权最小二乘法出发，设 即加权阵W为正定对称矩阵。目标函数为 则加权最小二乘法估计为 只要为非奇异，。则得到估值 或 上述估计值 渐近无偏的条件是： 1 为非奇异阵。 2 ，即Z与e 独立。Z 称为辅助变量矩阵，Z 的元素称为辅助变量。Z 阵的选择要与噪声无关，但要与数据阵紧密相关。如果所用的辅助变量满足上述两个条件，则有 上式 称作辅助变量参数的估计值，可见，只要适当选择辅助变量，使之满足上述两个条件，参数估计值 就可以是无偏一致估计。辅助变量的选择所选择的辅助变量应与e(k)不相关，但与u(k)和中的y(k)强烈相关，下面介绍辅助变量选择的迭代辅助变量算法。 上式 为理想系统的输出，即理想系统的模型为： 式中 和 的系数正是要辨识的参数，可以通过迭代算法得到