高一数学直线与圆人教实验B版 知识精讲.docVIP

高一数学直线与圆人教实验B版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 直线与圆 二、学习目标 掌握圆的定义，会求圆的方程，掌握简单的直线与圆的关系，通过练习掌握基本知识，并能综合运用所学知识正确解题 三、知识要点 1、若圆（x－a）2+（y－b） 2=r2，那么点（x0，y0）在 2、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法： （1）代数法（判别式法） （2）几何法，圆心到直线的距离 一般宜用几何法。 3、弦长与切线方程，切线长的求法 （1）弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则 （2）改写圆方程写出圆的切线方程：（x0，y0）为切点的圆的切线方程，分别以x0x， y0y，改写圆方程中的x2，y2，x，y 切线长 4、圆与圆的位置关系 5、圆系方程 （1）以（a，b）为圆心的圆系方程： 。 （2）过两圆和的交点的圆系方程：但不含C2 当时，为两圆公共弦所在直线方程 其中当两圆相切时，l为过两圆公共切点所在直线的方程。 【典型例题】 例1、已知圆x2+y2+x－6y+m=0与直线x+2y－3=0相交于P，Q两点，O为原点，且OP(OQ，求实数m的值。 解法一： 设P（x1，y1）， Q（x2，y2）， 由OP(OQ， 得: kOPkOQ= －1 即=－1 即x1x2+y1y2=0 ① 另一方面（x1，y1），（x2，y2）是方程组 的实数解， 即x1，x2是5x2+10x+4m－27=0 ② 的两个实数根， ∴x1+x2=－2，x1x2= ③ 又P，Q在直线x+2y－3=0上， ∴y1y2=（3－x1）（3－x2）= [9－3（x1+x2）+x1x2] ④ 将③代入得y1y2= ⑤ 将③⑤代入④①知：m =3. 代入方程②检验(＞０成立. ∴m=3 解法二： 将3=x+2y代入圆的方程知：x2+y2+（x+2y）（x－6y）+ （x+2y）2=0， 整理得：（12+m）x2+4（m－3）x y+（4m－27）y2=0 由于x≠0可得（4m－27）（ ）2+4（m－3） +12+m=0，① ∴kOP，kOQ是①方程的两根， 由kOPkOQ= －1知: =－1， 解得：m=3. 检验知m=3为所求. 例2、已知与曲线C：x2+y2－2x－2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点， O为原点，且|OA|=a， |OB|=b （a2，b2） （1）求证曲线C与直线L相切的条件是（a－2）（b－2）=2 （2）求线段AB中点的轨迹方程 （3）求ΔAOB面积的最小值. 解：依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay－ab=0， 圆C的方程为（x－1）2+（y－1）2=1 （1）∵直线与圆相切， ∴=1， 化简: （a－2）（b－2）=2 ① （2）设AB的中点坐标为（x，y）， 则a=2x，b=2y， 代入①得（2x－2）（2y－2）=2， 即（x－1）（y－1）= （x1，y1）为所求线段AB中点的轨迹方程。 （3）由（a－2）（b－2）=2， 得ab=2a+2b－2 ∴SΔAOB=|ab|=a+b－1=（a－2）+（b－2）+3≥2+3=2+3， 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3. 例3、过圆x2+y2=r2（r0）外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN的方程是x0x+y0y=r2 证法一： 设M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）. M、N在已知圆x2+y2=r2上， 过M、N的切线方程分别是x1x+y1y=r2 ，x2x+y2y=r2 又P是两切线的公共点， 即有x1x0+y1y0=r2 ，x2x0+y2y0=r2 上面两式表明M（x1，y1），N（x2，y2）两点都在二元一次方程x0x+y0y=r2表示的直线上， 所以直线MN的方程是x0x+y0y=r2. 证法二： 以OP为直径的圆的方程为（x－ x0）2+（y－ y0）2= （x02+y02） 即x2+y2 －x0x－y0y=0 又圆的方程是x2+y2=r2，两式相减得x0x+y0y=r2. 这便是过切点MN的直线方程。 【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程 例4、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解：设MN切圆C于N，则|MN|2=|MO|2－|ON|2， 设点M（x，y）， 则， 化简，得 （λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=0 1）当λ=1时，方程为，表示一条直线。 2