分式不等式 - 苏州市第一中学.docVIP

本文发表于《中学数学研究》（广州）2004年第4期 几个不等式的共同背景 215006 苏州市第一中学 刘祖希 近来几个出现在多家刊物上的不等式引起了笔者的兴趣，经过一番研究，笔者发现了它们的一个共同背景：不等式，并用它给出了三角形欧拉不等式的一个新证. 1 背景证明 例 在中，求证：. （1983年瑞士数学奥林匹克） 证明：∵， 同理， ， ， 三式相乘即得原不等式. 2 背景揭示 2.1原型使用 例 设为三角形三边长，求证. （《数学教学》2001.5数学问题543） 证明：由三元均值不等式及例1， . 例 在中，求证：. （《数学通报》2001.11数学问题1324题） 证明：由均值不等式及例1， . 例 在中，求证：. （数学问题？？） 证明：由均值不等式及例1， . 2.2代换变形 例 已知都是正数，求证：. （高中数学新教材第二册11页练习题1） 证明：作变换？非负实数，且，证明：. （IMO41试题） 证明：令，其中，则 . ① 不妨设，则， 若，则①式显然成立； 若，则由例1，①式也成立； 故原不等式得证. 例 设，且，，证明：. （《数学通报》2001.4数学问题1310） 证明：对上例作变换，即得. 例 锐角中，求证：. （《数学通报》2003.3数学问题1421题） 证明：在中有恒等式， ∴ ， 同理，， ， 令，∴， ∴ ， 即. 2.3展开变形 例3 设为三边，证明：. （1964年IMO-6试题） 证明：∵两边之和大于第三边. 例 设，证明：. （1992年加拿大竞赛题） 例 对正数，求证：. （第9届全苏数学奥林匹克） 2.4变形 例 设非负实数，且，证明：. 例 设非负实数，且，证明：. （《数学通报》1987.8数学问题487题） 例 设非负实数，且，证明：. （IMO-25试题） 证明：∵. 例 中，证明： . （《数学通报》1994.10数学问题916题） 证明：， 且. 3 欧拉不等式的新证 欧拉不等式有多种证法，这里借助例1给出一个新证. 例 三角形外接圆的半径为，内切圆的半径为，求证：.（欧拉不等式） 证明：∵，，， ∴， ， ， 由例1知，， ∴，即. 参考文献： [1]数学通报.数学问题解答栏目. [2]杨华.几个不等式的赛题的内在联系.中等数学，2001.6 [3]陈天雄.一个不等式的演变.数学通报，2003.8