分式不等式关键是去分母——《中学数学研究》 - 苏州市第一中学.docVIP

本文发表于《中学数学研究》（南昌）2003年第11期 证明分式不等式的关键是去分母 215006 苏州市第一中学 刘祖希 文[1][2][3][4]从不同角度介绍了如何使用均值不等式证明轮换对称不等式，实际表明，轮换对称不等式中相当一部分是分式不等式.经过一番探究，笔者发现，关键在去分母，即根据分母的结构特点，兼顾整体的“次数”、“系数”，添加（构造）适当的式子，再应用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文[1][2][3][4]的例题为例详细予以介绍. 1 直接添加分母 当分母比较简单时、分子分母次数差异不大，可直接添加分母，但应根据等号成立的条件搭配适当的系数（用待定系数法）. 例1 (第26届全俄数学奥林匹克)已知，则. 分析：要去分母，可添加，常数待定， ∵， ∴ 比较，则即. 证明略.同类问题还有： ①已知，且，则. ②已知，则.（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛） ③已知，且.求证. （第24届全苏中学生数学竞赛） 推广：已知，且.求证. ④已知，则.(1984全国高中数学联赛) 2 选择添加和式、积式 当分母由几个式子构成时，则要选择添加这几个式子的和式或积式. 例2 （IMO39预选题）已知，且， 求证：. 分析：根据的分母，尝试两种添加方法： ①添加，则， 由取等号，得； ②添加，则， 由取等号，得； 比较与，选择添加方法②. 证明：， ∴， 同理， ， ∴ . 3 适当调整分母、分子次数 设原分式为型，考虑“次数”的基本要求是：添加以后，应尽量使得中与次数相同、中与次数相同，等等. 例3 (IMO36试题)已知，则. 分析：分母、分子次数相去甚远，考虑先缩小二者次数差距， ，分子“二次”、分母“一次”， 添加，， 由取等号，得. 证明：， ， ，相加， ∴ . 例4 （IMO31预选题）设，且， 求证：. 分析：①若直接添加，则，不能进行下去； ②根据的分母，考虑次数要求，应添加二次式：（题设恰有且为定值），则 ， 由取等号，得； 接下去需要比较与，这容易办到. 证明：∵， ， ， ，相加， ∴ . 4 构造正负项相消 以上各例均为分式相加，若出现分式相乘的情况应考虑“正负项抵消”. 例5 （IMO41试题）设非负实数，且， 证明：. 分析：求证结论中分式相乘且不等号为“”，用均值不等式必定会出现式子相加，尝试用正负项抵消的办法消去分式，中有，能否出现？提取即可. 证明：∵ ， 同理，， ，相乘， ∴. 5 简短总结 选准去分母的式子的结构：和式还是积式、含哪几个字母、字母的次数各是多少、待定式子的系数，这是一个系统工程. 参考文献： [1]刘有良.寻求匹配因子证明不等式.数学通讯，2003、5 [2]朱华根.用次数分析法求解有关不等式的竞赛问题.中学数学，2003、6 [3]王扬.对数学问题解答栏中若干数学问题的感悟.数学通报，2003、6 [4]张祖寅戴顺芳