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计算方法 ——答案 2006-12-24 考查 成绩 学院 姓名 学号 1、（4分），则近似值：有 6 位有效数字，有 7 位有效数字； 2、（4分）设 （均为实数），则差商：= 12 ，= 2 ； 3、（4分）具有个节点的插值型数值积分公式的代数 精度至少是 n 阶，至多是 2n+1 阶； 4、（4分）已知函数是单峰函数，在 [1，2] 区间有极小点，利用0.618法进行一维优化：函数值：，则删去部分区间后保留区间： ，下次计算函数值的点是： 1.764 ； 5、（4分）按数值积分的复化Simpson公式计算得：，由此可估计误差： ； 6、（6分）三阶矩阵及其逆矩阵如下，则的范数意义下的条件数： 748 ；又，解方程组，若残量的范数，则可估计解的误差 4.08 ； 7、（8分）函数有形式，测试数据如下表： -1.06 -0.567 1.43 1.77 请给出用最小二乘法确定系数的法方程（取3位有效数字计算）： 得： 8、（10分）用Gauss消去法解以下方程组，并将其系数矩阵 分解为形式（单位下三角、对角、单位上三角矩阵）： ； 答： 主元： 9、（10分）方程组： 考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解方程组的收敛性； 解：方法（1）将原方程第3行两边除2，便为对称： 正定， 正定， 因此，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉 方法（2）若对方程不作改变，Jacobi迭代矩阵： 记 ， 又由 及 ，因此，方程 在，及 中各有一解，因此，因此Jacobi迭代收敛； Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵： 或：迭代矩阵 谱半径是以下特征多项式的根： 解得： ，所以Gauss-Seidel迭代收敛；〈完〉 10、（10分）已知方程在区间中有唯一解，给出包含此解的长度不超过0.5的区间，及一个简单迭代，使之在此前定的区间中任取初值，迭代收敛于； 解： 由 可知 令 ，迭代， 因 ，而 ，， 又 由， 因此，由定理可知，迭代 收敛。 11、（12分）试给出计算以下积分的两点求积公式，使之具有尽可能高的代数精度，并请给出此时公式的误差： 令 ， 解：1、确定公式 ①正交多项式： 所以，节点， 公式： 或② 待定系数法： 利用对称区间性质：令 由此可得与上相同的公式。为得到误差，考察代数精度：令： 因此，代数精度为3。 2、误差：由于代数精度为3，故 令 若用广义Peano定理： 取： 12、（12分）解常微分方程初值问题 的算法： 1）确定系数，使算法具有尽可能高的精度，并给出局部截断误差； 2）请将所得公式与以下公式结合，组成“预估-修正-校正”公式： ； 解：1）①数值积分方法： 令，有： 或② 待定系数法： 得： 2）取 由 及 得 ，因此有 13、（12分）设，函数 求区间上满足以上插值条件的分段三次插值多项式（自然样条）； 解：设 令，故有 由此：，由插值条件： 得： 同理：，由插值条件： 得： 利用在处连续：由 ； 得： 所求三次样条为： ； 若按公式： 有： 得：