高中数学总复习第二轮专题一 1.2 函数的图象.docVIP

§1.2 函数的图象 考点核心整合 1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. 2.函数图象的作法有两种:一种是描点法；另一种是图象的变换法. (1)描点法作图:一般要考虑定义域,化简解析式,描出能确定图象伸展方向的几个关键点. (2)利用图象变换法作图: ①平移变换:y=f(x)y=f(x-h);y=f(x)y=f(x)+k. ②对称变换:y=f(x)y=-f(x), y=f(x)y=f(-x)； y=f(x)y=f(2a-x)； y=f(x)y=f-1(x)； y=f(x)y=-f(-x). ③翻折变换: y=f(x)y=f(|x|); y=f(x)y=|f(x)|. ④伸缩变换: y=f(x)y=f(ax); y=f(x)y=af(x). 考题名师诠释 【例1】已知函数y=xf′(x)的图象如右图所示〔其中f′(x)是函数f(x)的导函数〕，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( ) 解析：由图象知当0x1时，f′(x)0，x1时，f′(x)0,即f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，否定A、B、D.故选C. 答案：C 【例2】 已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2，规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|g(x)时,h(x)=-g(x).试讨论h(x)是否有最大值或最小值,并说明理由. 解：画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A、B之间,|f(x)|g(x),故h(x)=-g(x). 综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值. 【例3】设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数. 又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0, ∴f(0)≠0. 从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数. (2) f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)，从而知函数y=f(x)的周期为T=10. 又f(3)=f(1)=0, ∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，在［2 000，2 005］上有2个根，在［-2 000，0］上有400个根，在［-2 005，-2 000］上没有根.所以函数y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802个根. 【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x. (1)求g(x)的表达式； (2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|; (3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在［-1,1］上是增函数，求实数λ的取值范围. 解：(1)设y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则 ∵Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上， ∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x. 故g(x)=-x2+2x. (2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x2-|x-1|≤0. 当x≥1时，2x2-x+1≤0，此不等式无解； 当x1时，2x2+x-1≤0，解得-1≤x≤. 因此原不等式的解集为［-1,］. (3)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1. ①当λ=-1时，h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1. ②当λ≠-1时，对称轴方程为x=. (ⅰ)当λ-1时，≤-1,解得λ-1； (ⅱ)当λ-1时，≥-1,解得-1λ≤0. 综上,λ≤0. 【例5】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5，其中f′(x)是f(x)的导函数. (1)对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0，求实数x的取值范围； (2)设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. 解：(1)由题意,g(x)=3x2-ax+3a-5. 令φ(a)=(3-x)