高中总复习第一轮数学 (新人教A)第四章 4.4 两角和与差、二倍角的公式(三).docVIP

4.4 两角和与差、二倍角的公式(三) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.化简三角函数式是为更清楚地显示式中所含量之间的关系,以便于应用. 化简三角函数式的要求: (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数、项数尽量少;分母尽量不含三角函数;被开方式尽量不含三角函数. 2.恒等式的证明,包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种. (1)无条件的等式证明,常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因),证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等,不论采用什么证明方式和方法,都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找证明的突破口. (2)有条件的等式证明,常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数式的区别及联系,灵活使用条件,变形得证. 二、点击双基 1.已知tanα和tan(-α)是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是( ) A.b=a+c B.2b=a+c C.c=b+a D.c=ab 解析: ∴tan==1. ∴-=1-,-b=a-c. ∴c=a+b. 答案:C 2.在△ABC中,若tanB=式,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:tanB==, ∴=. ∴2sinBsinC=cosCcosB+sinCsinB. ∴cosCcosB-sinCsinB=0,即cos(C+B)=0. ∴cosA=0. ∵0Aπ,∴A=.故选B. 答案:B 3.设α为第四象限的角,若=,则tan2α=_________________. 解析：= ==. ∴2cos2α+cos2α=, 2cos2α-1+cos2α=. ∴cos2α=. ∵2kπ-α2kπ, ∴4kπ-π2α4kπ. 又∵cos2α=0, ∴2α为第四象限的角. sin2α=-=-, ∴tan2α=-. 答案：- 4.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=,则cos(α-β)=____________. 解析:(cosα-cosβ)2=,(sinα-sinβ)2=. 两式相加,得2-2cos(α-β)=. ∴cos(α-β)=. 答案: 诱思·实例点拨 【例1】已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+sin2C=0,求角A、B、C的大小. 剖析:欲求角A、B、C,需求A、B、C的某一个三角函数值,利用方程的思想易求得A、B、C的值. 解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0, 得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0. ∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0, 即sinB(sinA-cosA)=0. ∵B∈(0,π), ∴sinB≠0,从而cosA=sinA. 由A∈(0,π),知A=. 从而B+C=. 由sinB+cos2C=0,得 sinB+cos2(-B)=0, 即sinB-sin2B=0, 亦即sinB-2sinBcosB=0. 此得cosB=,B=,C=. ∴A=,B=,C=. 讲评:本题主要考查三角形及三角函数的基本知识,关键是运用sin(A+B)=sinC. 【例2】 求证：-2cos(α+β)=. 剖析:先转换命题，只需证sin(2α+β)-2cos(α+β)·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=(α+β)+α，(α+β)-α=β可证得结论. 证明:sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα =sin［(α+β)+α］-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin［(α+β)-α］=sinβ. 两边同除以sinα得 -2cos(α+β)=. 讲评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略. 【例3】 求函数y=+sin2x的最小值. 剖析:要求最值,需先进行三