高中总复习第一轮数学 (新人教A)第十章10.2 排列.docVIP

10.2 排列 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Amn表示. 3.排列数公式:Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=. 说明:(1)n!=n(n-1)(n-2)…3·2·1,叫做n的阶乘; (2)规定0!=1; (3)当m=n时的排列叫做全排列,全排列数Ann=n!. 二、点击双基 1. 5人站成一排,甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 解析:甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素,共三个元素排列,不要忘记甲、乙两人之间的排列,C13A22A33=36,应选C. 答案:C 2.有6名男同学和4名女同学,自左至右站成一排,其中女同学不相邻而且最右端必须是女同学的排法有( ) A.A66A44种 B.C14A36A66种 C.C14C36A66种 D.A66A36种 解析:先从4个女生中取一人站在最右端有C14种方法,把六个男生进行全排列,将3个女生插入6个男生的六个空中,有A66·A36种,答案选B. 答案:B 3.(五人排成一排,甲与乙不相邻,且甲与丙也不相邻的不同排法数是( ) A.24 B.36 C.48 D.60 解析:间接法:A55-2A22A44+A22A33=36.答案:B 4.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_________________个. 解析:本题注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0或5.用间接法, 所有4位数有A15·A35=300个, 末位为0时有A35=60个, 末位为5时有A14·A24=4×12=48个, ∴有300-60-48=192个. 答案:192 5.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有____________个.(用数字作答) 解析:A33A24A22A22A22=576. 答案:576 诱思·实例点拨 【例1】公共汽车上有4位乘客,其中任何两人都不在同一车站下车,汽车沿除停靠6个站,那么这4位乘客不同的下车方式共有( ) A.15种 B.24种 C.360种 D.480种 剖析:把公共汽车沿途要经过的6个停靠站依次编号,记为1号,2号,…,6号,那么4位乘客的下车方式即为从这6个号码中选出4个号码与4位乘客对应.至此,该问题已经很明确,即从6个号码中选出4个,且按照一定的次序排成一列,共有几种方法.也就是从6个不同的元素中取出4个元素的排列数. 解:将公共汽车沿途经过的6个停靠站依次编号,记为1,2,3,4,5,6,则4位乘客不同的下车方式总数即为从这6个号码中选出4个的排列数A46=6×5×4×3=360. 讲评:要掌握几种不同情况下的典型的排列问题,遇到其他问题要善于联系与转化. 【例2】7个人排成一排,按下列要求有多少种排法? (1)其中甲不站排头,乙不站排尾; (2)其中甲、乙、丙3人必须相邻; (3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻; (4)其中甲、乙中间有且只有1人; (5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列. 剖析:对于第(1)小题,甲不站排头,那么甲站哪个位置呢?从正面考虑,进行分类;又甲不站排头,乙不站排尾,我们可先考虑它的反面:甲站排头,或乙站排尾,采用“间接法”,从两个不同的角度分析. 解:(1)(直接法)如果甲排尾,其余6人有A66种排法,如果甲站中间的5个位置的一个,而乙不站排尾,则有A15A15A55种排法,故共有排法A66+A15A15A55=3 720(种). (间接法)7个人排成一排有A77种,其中甲在排头有A66种,乙在排尾有A66种,甲排在头且乙排在尾共有A55种,故共有排法A77-A66-A66+A55=3 720种. (2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有A55种,然后甲、乙、丙内部再作全排列有A33种,故有不同的排法