高中总复习第一轮数学 (新人教A)第四章 4.5 三角函数的图象与性质(一).docVIP

4.5 三角函数的图象与性质(一) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.三角函数的图象和性质 函 数 性 质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 注:读者自己填写. 2.对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 二、点击双基 1.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( ) A. B. C.π D.2π 解析：f(x)=|sinx+cosx|=|sin(x+)|, ∴T=π. 答案：C 2.若函数f(x)=sinωx+cosωx,x∈R,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于分式,则正数ω的值为…( ) A. B. C. D. 解析:由于f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+), 又f(α)=-2,f(β)=0, 所以x=α是函数图象的一条对称轴,(β,0)是函数图象的一个对称中心, 故|α-β|的最小值应等于分式,其中T是函数的最小正周期,于是有分·=, 故ω=. 答案:B 3.函数y=cos(sinx)的值域是__________________. 解析：∵-1≤sinx≤1,∴cos1≤cos(sinx)≤1. 答案：［cos1,1］ 4.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是___________________. 解析:由cosx-sinx0cosxsinx.由图象观察,知2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z). 插入图片BY73;S*2;X*2 答案:2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z) 诱思·实例点拨 【例1】化简f(x)=cos(π+2x)+cos(π-2x)+2sin(+2x)(x∈R,k∈Z),求函数f(x)的值域和最小正周期. 剖析:欲求f(x)的值域和最小正周期,只需把f(x)化成一个角的一个三角函数的形式. 解:f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ--2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x) =4cos2x. 函数f(x)的值域为［-4,4］; 函数f(x)的最小正周期T==π. 讲评:本题考查化简三角函数式的能力及求值域、周期等三角函数性质. 【例2】 设三角函数f(x)=sin(x+)(k≠0), (1)写出f(x)的最大值M、最小值m以及最小正周期T; (2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个M与m. 解:(1)M=1,m=-1,T==(k≠0). (2)为保证两个整数间有一个M与m,必须使两个整数间的区间长度不少于一个周期T,由T≤1解得k=32. 讲评:本题容易出现的错误是求周期忘加绝对值,第(2)小题是周期函数的灵活运用. 【例3】 已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中A、B、ω是实常数,ω0)的最小正周期为2,当x=时,f(x)取得最大值2. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在闭区间［,］上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由. 剖析:将f(x)化成一个角的一个三角函数形式,利用三角函数的性质解之. 解:(1)f(x)=sin(ωx+φ),其中tanφ=. 由题意 解得ω=π,A=,B=1,tanφ=,取φ=, ∴f(x)=2sin(πx+). (2)令πx+=kπ+,k∈Z, 得x=k+.由≤k+≤, 得≤k≤.又∵k∈Z,∴k=5. 故在闭区间［,］上只有f(x)的一条对称轴,其方程为x=. 讲评:本题考查了三角函数式化简,深层次地考查了周期、最值、对称性等问题,是一个灵活性较强的题目. 链接·聚焦 本题(2)是探索性问题,试总结解探索性问题的一般步骤.