高中总复习第一轮数学 (新人教A)第四章 4.2 两角和与差、二倍角的公式(一).docVIP

4.2 两角和与差、二倍角的公式(一) 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆的交点分别为A、B,则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ). 由数量积的定义有·=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ. 由向量数量积的坐标表示,有·=cos(α-β). 于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 2.由诱导公式可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 3.由tanα=可得tan(α+β)=; tan(α-β)=. 二、点击双基 1.对任意的锐角α、β,下列不等关系中正确的是（ ） A.sin(α+β)sinα+sinβ B.sin(α+β)cosα+cosβ C.cos(α+β)sinα+sinβ D.cos(α+β)cosα+cosβ 解析：取α=30°,β=60°,可知A、B不正确.取α=β且均趋近于0°,cos(α+β)→1,sinα→0,sinβ→0,显然C不正确,故选D. 答案：D 2.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B), ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. ∴cosAsinB-sinAcosB=0. ∴sin(B-A)=0. ∴B=A. 答案:B 3.的值是( ) A. B. C. D. 解析: 原式= = ==. 答案:C 4.已知函数f(x)=cos2(+x)-cos2(-x),则f()等于( ) A. B.- C. D.- 解析:f(x)= -=-=-sin2x, ∴f()=-sin2×=-sin=-.故选择B. 答案:B 5.△ABC中,若b=2a,B=A+60°,则A=_____________. 解析:利用正弦定理，由b=2asinB=2sinA sin(A+60°)-2sinA=0cosA-3sinA=0 sin(30°-A)=030°-A=0°A=30°. 答案:30° 诱思·实例点拨 【例1】 已知cosα=-,cos(α+β)=,且α∈(π,),α+β∈(,2π),求β. 解:∵α+β∈(,2π),α∈(π,), ∴β∈(0,π), ∴只需求cosβ的值即可. 由已知得sinα=-,sin(α+β)=-, ∴cosβ=cos［(α+β)-α］ =cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα =-. ∴β=. 讲评:要求角则先求一个函数值,而函数的选择是非常重要的.如本例若求sinβ,则因为β∈(0,π),而sinβ0的β值有两个,故产生增根. 链接·聚焦 已知三角函数值求角的步骤: 1.求角的某一个三角函数值. 2.求角的范围. 【例2】 求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值. 解:原式=(2sin50°+sin10°)·sin80° =(2sin50°+2sin10°)cos10° =2［sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)］ =2sin(50°+10°) =2×=. 讲评:对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值. (2)化为正负相消的项,消去求值. (3)化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值. (4)给值(或式)求值. 【例3】 (1)若cosα+cosβ=,sinα+sinβ=,求 cos(α-β)的值; (2)若sin(α+β)＝,sin(α-β)=,求. 剖析:本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用. (1)因为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以将已知两式平方后相加可得. (2)因为=,所以