5.1常微分方程.pptVIP

第5章 常微分方程 一、微分方程的概念 三、小结 * * 5.1 常微分方程. 5.2 一阶微分方程. 5.3 二阶微分方程. 5.4 微分方程应用举例. 5.1 常微分方程. 主要内容：1.微分方程的概念.2.微分方程通解、特解的概念 1、 引例 例1 已知一曲线通过点（1，3），且在该曲线上任意点M（x, y）处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程． 解 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足方程 (1) 两边积分，得 故得所求曲线方程为 (3) 例2 解 因为物体运动的加速度是路程对时间的二阶导数，且题设只受重力的影响， 所以由牛顿第二定律有 即 且垂直向上的方向为正方向． 一物体以初速 垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程 s 与时间 t 的函数关系． 其中物体的质量为m，重力加速度为g, 或 两边积分，得 或 （5） 再对上式积分，得 于是所求的函数关系为 归纳：上述两个例子中的方程（1）与（４）都含有未知函数的导数． （6） 代入(5), (6)式，得 (7) 定义 1 含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程． 其中未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程．（简称微分方程） 这里必须指出，在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但未知函数的导数必须出现． 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶． 2、微分方程的概念 二、微分方程解的概念 如果一个函数代入微分方程后，能使该方程变成恒等式，这样的函数称为微分方程的解． 如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 如果通解中的任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解． 而确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件． 一阶微分方程的初始条件是 二阶微分方程的初始条件是 微分方程初始条件的一般形式: 例3 解 所以 又因为解中含有两个独立的任意常数，与微分方程的阶数相同， 1.微分方程、常微分方程的定义。 2.微分方程的阶、解、通解和特解的定义。 3.微分方程的初始条件。 作业： 习题5.1 3、4、5