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20130918圆锥曲线大题 1、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，直线交椭圆于两点．若，，求该椭圆的方程． 本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分． 解法一 设所求椭圆方程为 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组 将②式代入①式，整理得 (a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0, ③ ——2分 设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为 P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)． ——3分 由题设OP⊥OQ,|PQ|=，可得 整理得 ——6分 解这个方程组，得 或 根据根与系数的关系，由③式得 (Ⅰ) 或 (Ⅱ) ——10分 解方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)，得 或 故所求椭圆的方程为 ， 或 ——12分 91理科：双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程． 分析：本小题考查双曲线性质，，，，．是抛物线上的点，直线、的倾斜角互补， （1）求证直线的斜率是定值； （2）若直线在轴上的截距大于0，求三角形面积的最大值。 3、、，且与定直线相切，点在上. (1)求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设过点且斜率为的直线与曲线相交于两点， （i）问：能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，说明理由 （ii）当为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x. 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形， ， ， ∠CAB为钝角. . 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是: . 解法二： 以AB为直径的圆的方程为: . 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A， B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. . . A，B，C三点共 线，不构成三角形. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是： 相关题：设抛物线，为焦点，为准线，准线与轴的交点为.（I）求；（II）设是抛物线上一点，，延长，分别交于点，．若，，三点共线，求点的坐标。 5、中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点． （I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值； （II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设， 直线的方程为，与联立得消去得． 由韦达定理得，． 于是． ， 当时，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为， 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为， 则，点的坐标为． ， ， ， ． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ， 又由点到直线的距离公式得． 从而， 当时，． （Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为， 将直线方程代入得， 则． 设直线与以为直径的圆的交点为， 则有． 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线． 6、设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为。 若椭圆与x轴交于A，B两点，点P为椭圆上一动点（异于A，B两点），直线AP，BP与直线分别相交与M，N两点。（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过定点？并说明理由. ………………………8分 （Ⅱ）A（-4，0）B（4，0）P（）则AP方程：， 令x=8则 同理：，……………11分 所以以线段MN为直径的圆的方程 即： ①………………………14分 又由P在椭圆上，即：② 将②代入①得，令y=0则x=2或x=14则以线段MN为直径的圆过定点（2，0）和（