高数ⅱ复习提纲.docVIP

高数Ⅱ复习提纲 一.三维空间中的向量、平面与直线 数量积是一个实数，向量积是向量，混合积是实数。注意：。 内积为0两向量垂直，混合积为0三向量共面、线性相关。 例：设为三个非零向量，则是共面的 _________条件。（充分不必要） 利用向量必考题型： 1.求线线角、线面角、面面角用内积求方向向量或法向量的夹角； 2.求三角形或平行四边形面积用外积的模来做；3.求投影或投影的面积用内积； 4.求点到直线的距离用外积；5.求点到平面的距离；6.平面、直线方程的建立； 7.平面、直线的关系（特殊情况垂直、平行）的判定（用向量判定）。 向量关系：（1）的充要条件：存在实数；； （2）的充要条件：（3）三向量共面的充要条件：存在不全为0的实数； 直线的一般式方程为，其方向向量为。 定点M到直线L的距离：设则 两直线的距离（公垂线的长度）：设，则 两平面的夹角且。 两直线的夹角且。 若，则共面的充要条件是 空间曲线的一般方程：，其切向量 空间曲线在坐标面上的投影曲线：消去z得到关于xOy平面的投影柱面，C在平面xOy上的投影曲线方程为，其他坐标平面上的投影曲线同理。 二.多元函数微分学及应用 例2：设，则f(x,y)在点（0，0） ② 同理可得 ③， ，不可微。故选C. 复合函数及隐函数的一阶、二阶偏导数常考题型 1.给出具体函数关系求偏导数 例：设有三元函数，根据隐函数存在定理，存在点（0,1,1）的一个领域，在此领域内该方程（ ） A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 解：令，求得 2.第一道关系为抽象函数时的复合函数求偏导数 例：设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求。解： 3.由方程（组）确定的隐函数微分法 这类题目有以下几种形式：由具体方程（组）确定的隐函数微分法；由抽象函数的方程（组）确定的隐函数微分法；由显函数与隐函数混合的微分法。形式虽然不同，但方法是一样的。 例1：设是由所确定的二元函数，求。 解：法一，写成，按隐函数求导公式： 法二，不用公式，直接将方程两边分别x,y求偏导，得： ，解得，求同上 法三（取微分）：将方程两别同时求微分得： ， 由全微分的公式得，，以下同解法一。 评析：一般用解法二，避免解法一的公式的记忆。 例2.设y=y(x),z=z(x)，是由方程所确定，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，且，求。 解：两个关系式中，视x为自变量，y与z为因变量，将两式两边分别对x求导得：， ，解得 4.变量变换，变更方程的形式 例：设变换可把方程简化为，求常数a。 解： 代入方程化简得： 由题设得：，解得a=3 三.多元函数微分法在几何上的应用： 例：设函数f(x,y)在点（0，0）附近有定义，且，则（ ） A. B.曲面在点处的法向量为（3，1，1） C.曲线在点处的切向量为（1，0，3） D.曲线在点处的切向量为（3，0，1） 解：①偏导数存在不一定可微，A错 ②令法向量为（3，1，-1） ③曲线可写成参数形式：，切向量为（1，0，3）.故选C. 四.方向导数与梯度： 五.多元函数的极值及其求法： 拉格朗日乘法求极值： 函数在条件下极值的求法：令 由，求解的驻点就可能是极值点，三元函数同理。 例：设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且及.则的（ ） A.最大值点和最小值点必定都在D的内部 B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上 C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上 D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上. 解：假设在D上存在极值点，则， 由题意得，，在D上无极值 最值只能在边界上取，所以选B 六.重积分及其应用： 1.若被积函数连续，则重积分、必存在。 2.积分的保号性： ①若 ② ③若 若 若 3.积分估值定理，其中m、M分别是在D上的最小值、最大值，为D的面积。 4. 例：设，计算 解：将D分为三部分：， ，， 二重积分的计算： 1.在直角坐标系中，化成先x后y或先y后x的二次积分计算（基本内容，必须掌握），解题步骤是：①画出积分区域D的图形②选择合适的积分次序，确定积分上下限③逐个计算已定好限的积分 2.直角坐标系中变更二次积分的次序（重要）：根据已定好的积分上下限，画出相应的积分区域，然后根据已画出的积分区域重新定限。 （重点）将二重积分化为二次积分时，如遇以下形式的积分等，则一定要将其放在后面积分。 例：计算二重积分，其中D是所围成的闭区域。解：关于x的区域D：（更换积分次序） 3.极坐标系中计算二重积分与直-极互换（基本内容，必须掌握） 一、积分区域D的边界是极坐标给出的，或D是以O为中心的圆、圆环或扇形，或