十堰市2008年元月高三调研考试题.docVIP

2010年湖北省八市高三三月联考 理科数学试题 一、选择题（5分×10=50分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D C C B D C A D C B 二、填空题（5分×5=25分） 11． 　 12． 525 　　 13． 　　　14． 15． 三、解答题（75分，答案仅供参考，其它解法酌情给分） 16解：（Ⅰ）依题意， ，； 由 得：， （3分） 解得 ，又，得. （6分） （Ⅱ） 由得：， 化简得，∴， （8分） 又，∴， ∴. （10分） ∴. （12分） 17解：（Ⅰ）甲至多命中2个的概率为： 乙至少命中2个的概率为： ∴甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率为：. （6分） （Ⅱ）的可能取值为： ，， , , . （9分） ∴的概率分布为： -4 0 4 8 12 . （12分） 18解：解法一：（Ⅰ）存在且为的中点，连接, ∵分别是的中点, ∴. （3分） （Ⅱ）延长与的延长线交于，连接，则为截面与底面所成二面角的棱，取的中点，连,则. ∵,∴为的中点. 由题设得,且, 作于,则,连, 又, 由三垂线定理可知， ∴为截面与底面所成的锐二面角. （6分） 在中，,∴. （8分） （Ⅲ）在中,得， 在中,得, 由， ，解得，即到截面距离为. （12分） 解法二：（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向分别作为轴的正方向建立空间直角坐标系,则 ；∵分别是 的中点，∴, ,； 设平面的法向量为，由得，解得， 取得； 又平面的一个法向量为, （6分） 设截面与底面所成锐二面角为，则， ∴，得. 故截面与底面所成锐二面角的正切值为2. （8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为，； 设点到截面的距离为，由向量的投影得， 故点到截面的距离为. （12分） 19解：设点坐标为，由点在椭圆上知，得 ∴等腰梯形的面积为 （2分） ∴ ，令，得， ∵，∴， （6分） 又当时，；当时，， ∴在区间上，有唯一的极大值点， （8分） ∴当时，有最大值为；即当时，有最大值为. （10分） 因此只需分别作的中垂线与上半椭圆交于,这样的等腰梯形的面积最大. （12分） 20解：（Ⅰ）∵ ∴的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， ∴轨迹方程为. （3分） （Ⅱ） 由题意可知的斜率存在，且， 设的方程为， 则，由得：； （5分） 联立，消去，整理得： （*） 由是方程（*）在区间内的两个不等实根得 ，化简得，即； （8分） 又，整理可得： ， （10分） ∵，由对勾函数的性质可知，在区间上为增函数, ∴， 综上得. （13分） 21解：(Ⅰ) 由题意得， ， 由以上归纳可得：， （2分） ∴， ∴数列是以为首项，以为公差的等差数列， ∴ ，∴. （4分） (Ⅱ) 由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：1，2， ，…，，… 第行的首项为，项数为，公差为 ∴ （7分） 当时，符合上式； 当时，由排布规律知，也符合上式； ∴. （8分） (Ⅲ) 令 (1) (2)