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第三章习题课 若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数, 于是有 解此方程组得 故所求作抛物线的方程为 曲率圆的方程为 两曲线在点处的曲率圆的圆心为 例7 解 奇函数 * 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容 1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 有限增量公式. 3、柯西中值定理 推论 4、洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 注意：洛必达法则的使用条件. 5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 6、导数的应用 定理 (1) 函数单调性的判定法 定义 (2) 函数的极值及其求法 定理(必要条件) 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 定理(第一充分条件) 定理(第二充分条件) 求极值的步骤: 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 实际问题求最值应注意: 1)建立目标函数; 2)求最值; (4) 曲线的凹凸与拐点 定义 定理1 方法1: 方法2: 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 (5) 函数图形的描绘 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势; 第五步 (6) 弧微分 曲率 曲率圆 曲率的计算公式 定义 例1 解 二、典型例题 这就验证了命题的正确性. 例2 解 例3 证 由介值定理, ? ? 注意到 由?, ?有 ? ? ?+ ?,得 例4 证 例5 证 ? ? ? – ?, 则有 例6 解 * * 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及 在闭区间上连续,在开区间内可导,且 在内每一点处均不为零，那末在内至少 有一点,使等式 成立. 选择题： 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（ ） 它们都给出了ξ点的求法 . 它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法. 它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 . 它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 罗尔（Rolle）定理 如果函数在闭区间 上连续,在开区间内可导,且在区间端 点的函数值相等，即,那末在 内至少有一点,使得函数在该 点的导数等于零， 即 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 在闭区间上连续,在开区间内可导,那 末在内至少有一点，使等式 成立. 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则当在内时, 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和: 设在点处具有导数,且在处取得极值,那末必定. (1)如果有而, 有，则在处取得极大值. (2)如果有而 有，则在处取得极小值. (3)如果当及时, 符 号相同,则在处无极值. 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理2 如果在内存在二阶导数,则点是拐点的必要条件是. 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数 描出与方程和的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形. 确定函数的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数和二阶导数; 求出方程和 在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间. 设在处具有二阶导数, 且, ,那末 (1)当时, 函数在处取得极大值; (2)当时, 函数在处取得极小值. 若在可导且,则（ ） 至少存在一点，使； 一定不存在点，使； 恰存在一点，使； 对任意的，不一定能使 . 3．已知在可导，且方程f(x)=0在有 两个不同的根与，那么在（ ） . 必有； 可能有； 没有； 无法确定. 4、如果在连续，在可导，为介于 之间的任一点，那么在（ ）