数学与统计学院2.1.1问题的提出2.1.2柯西－古萨基本定理2.1.3例题.pptVIP

数学与统计学院 2.1.1 问题的提出 2.1.2 柯西－古萨基本定理 2.1.3 例题 2.3 小结 2 柯西－古萨基本定理 及复合闭路定理 2.1 柯西－古萨基本定理 2.2 复合闭路定理 2.2.1 问题的提出 2.2.2复合闭路定理 2.2.3 典型例题 例1 解 (1) 积分路径的参数方程为 y=x (2) 积分路径的参数方程为 y=x y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 积分与路径有关引入柯西古萨基本定理 上节例1, 此时积分与路线无关. 2.1 柯西－古萨基本定理 2.1.1 问题的提出 上节例2, 本节例1, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. 定理1 柯西－古萨基本定理 2.1.2 柯西－古萨基本定理 此定理也称为柯西积分定理. 关于定理的说明: (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (3) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立. 注意定理的基本假设：单连通区域B；解析函数f(z)；封闭曲线C。 定理中并未要求 C 必须是简单曲线，所以在实际中C 可以不是简单曲线。 例2 解 根据柯西－古萨定理得 因此不能直接应用柯西－古萨基本定理。 将柯西－古萨基本定理推广到多连域中. 2.2 复合闭路定理 2.2.1 问题的提出 应用柯西－古萨基本定理的基本要求：单连通区域B。此要求过于苛刻。 例如，欲计算 基本想法： ︵ ︵ 2.2.2复合闭路定理 ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 得 ︵ ︵ ︵ ︵ 那末 定理 复合闭路定理 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 例3 解 依题意知, 2.2.3 例题 数学与统计学院 * *