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中值定理专题辅导 “中值定理”部分内容比较抽象，很多同学学起来比较吃力，尤其对证明中值命题感到无从着 手。下面对中值命题的题型和解题方法作一简单的归纳总结。 题型一：欲证结论至少存在一点 使得 思路之一：验证 在 上满足罗尔定理的条件。由罗尔定理的结论可得命题的证明。 有时可能还要结合闭区间上连续函数的一些性质或其它中值定理予以证明。 思路之二：验证 为 的最值点或极值点，由费马定理便可证明命题。 费马定理：设函数 在 的某邻域内 内有定义，且 存在，若对于 ，都有 （或 ）则必有 思路之三：有些命题可用泰勒公式 例 1 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内二阶可导，且 ，试证：至少存在一点 使 。 分析：根据题设条件，可按第一种思路证明，即先验证 在某区间（可以是 ，也 可以是 的某一个子区间）上满足罗尔定理的条件，而这一点不难验证。 证明：显然 在 和 上满足罗尔的条件，于是分别存在 ， 使得 。同样，对 在 上应用罗尔定理，存在一点 ，使 。 注意：有的学生是这样来证明本题的。依题设条件知 在 上满足罗尔定理的条件，故 至少存在一点 使 所以 。 以上证法错在哪里？