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* § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其逆定理, 以及它们的各种极限、退化形式. 有着重要的应用意义！ 核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外切简单六线形的对顶的规律. 简单六点形 简记为：123456 三双对边 12, 45；23, 56；34, 61(间隔(n–2)/2条边) 简单六线形 简记为：123456 三双对顶 1×2, 4×5；2×3, 5×6；3×4, 6×1(间隔(n–2)/2个顶点) 牢记对边、对顶的规律, 对于掌握两个定理十分重要！ § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 定理4.7(Pascal) 定理4.7(Brianchon) 定理4.8(Pascal逆定理) 定理4.8(Brianchon逆定理) 注：利用Pascal逆定理, 引出很多作图题. 比如：教材, 例4.6, 注：Pascal定理的证明见教材, 当?退化为两相交直线时, Pascal定理即为Pappus定理(§2.3, 例2.10), 比较这两个定理的证明过程, 异曲同工！ Pascal线 Brianchon点 § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 例1. (P.112, 4.6)已知平面上五个点A, B, C, D, E(其中无三点共线). 求作由此五点所确定的二阶曲线?上任一点F. 解. 作法： (1) 连结AD, BE交于L. (2) 过L任作不经过已知点的直线p. (3) 连结CD交p于点M. (4) 连结CE交p于点N. (5) 连结AN, BM交于点F为所求. 证明： 考察简单六点形ADCEBF, 因为其三双对边的交点L, M, N共线于p, 由Pascal定理的逆定理知, 该六点形内接于一条二次曲线?, 因A, B, C, D, E中无三点共线, 故?非退化. 变动直线p, 可得到?上其他点. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 二、Pascal定理的极限形式 极限形式：指简单六点形有某些相邻顶点重合, 此时, 连结重合的相邻顶点的边成为切线, 将切线作为边, 套用Pascal定理即可. 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 定理4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上. 注：图中画线的次序实际上是给出了根据定理4.9, 已知非退化二阶曲线上相异五点, 求作其中一点处的切线的作法. 见教材, 例4.7. 二、Pascal定理的极限形式 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 2. 两对相邻顶点重合 六点形 四点形 (1). 将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理4.10 请对照教材, 图4.11标字母. (2). 将四点形的一对相邻顶点视为重合顶点 定理4.11 请对照教材, 图4.12标字母. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 二、Pascal定理的极限形式 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 2. 两对相邻顶点重合 六点形 四点形 3. 三对相邻顶点重合 六点形 三点形 每个顶点皆为两个重合点 定理4.12 三、应用 1. 作图题 作二阶曲线上的点 作切线 § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理