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一个数列的稠密性及其应用 蒋晓云 （桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001） [摘 要] 设是任何一个正实数，本文研究了数列的项的分布。是正无理数时，这个数列在中稠密，并由此得出了的方幂的一个有趣性质,其中为自然数，且不为10的方幂。 [关键词] 稠密性；数列；分布；方幂 设有数列,其中，若包含于区间的任意区间(开或闭)都包含数列的项，我们称数列在[0，1]中稠密。 设是一个正实数，我们用表示它的整数部分，用表示它的小数部分，则有：。 我们证明了：当是正无理数时，数列的项在区间上是到处稠密的,并由此我们得出了的方幂的一个有趣性质： 设为自然数，且不为10的方幂。则对于任意给定的正整数，则存在某个自然数和，使得，即能找到一个的方幂，它最前面的几位数恰好是。 1 小数部分数列的稠密性 引理1 设是任何一个正实数，为任意正整数，在中至少有一个数与某一个整数的距离小于，即存在整数和，使得。 证明 在实数轴上，令和两点分别对应于和，如图1，我们把OE线段等分成份（假定每一份只包括左边的端点，不包括右边的端点），每一份的长度是。 考虑数列的小数部分，这里一共有个数，对应的点都在OE线段上（没有点跟E重合），根据抽屉原理，至少有两个点和落在同一份中（即一小段上），假定，那么， 即，从而，记整数 , 和整数，有，证毕。 从这个问题的解法和结论不难推出下列有趣的性质 定理2 设是任何一个正实数，小数部分数列 （1） （1）若为有理数，则数列（1）总落在区间的有限个等分点上； （2）若为无理数，则数列（1）在区间中稠密。 证明 （1）若为有理数,设（为互质的整数，），对任意的自然数，，由整数带余除法有：（是整数，且），那么，从而。这表明数列（1）总落在区间的个等分点 ：上。 （2）若为无理数，在区间上任意两点（）,,选取足够大的自然数，使得，根据引理1，总可以找到整数和整数，使得。令，则有，。 （a）当时，令，由于，所以，对应的值是：，它们等距离均匀地分布在区间上，任意相邻的两数相差，又与1相差也不超过，故中至少有一个落入区间中，即至少有一个的值落入区间中。 （b）当时，令，由于，所以，对应的值是：，它们等距离均匀地分布在区间上，任意相邻的两个数相差，又与0的距离也不超过，故中至少有一个落入区间中，即至少有一个的值落入区间中。 综合（a）、(b)所述，数列（1）至少有一项落入区间，即数列（1）在区间中稠密，证毕。 推论3 若为无理数，在区间上任意两点（），区间包含数列（1）的无穷多项。 证明（反证法）设在某区间只含有数列（1）的有限个项（），则在区间不含有数列（1）的项，这与定理2矛盾，所以，任意区间中存在数列（1）的无穷多项，证毕。 2 一个重要不等式 性质4 对任意的正整数，必存在自然数和，满足： 。 证明 取。 当不是10的方幂时，，，则区间长度为： 是无理数，由定理2及推论3，区间中必定含有小数部分数列： 的无穷多项。我们可以选择如此大的，满足： ①，这保证了是自然数； ②，即，从而有 取自然数，有。 （2）当是10的方幂时，有+1和，令，则。 是无理数，由定理2及推论3，区间中必定含有小数部分数列： 的无穷多项。我们可以选择如此大的，满足： ①，保证了为自然数， ②，即，从而有 即 取自然数，有。 综上述（1）、（2），性质4命题得证。 对性质4中的不等式变形，可以得到一条与性质4等价的性质： 推论5 对任意的正整数，必存在自然数和，满足：。 3 的一个有趣的性质 从上述推论5，令，则是一个自然数，记，于是我们可以得到了关于的一个有趣的性质： 定理6 设是任意正整数，则存在某个自然数和，使得： 。即对任意自然数，总能找到一个2的方幂，它最前面的几位数恰好是。 这一结论告诉我们，寻求一个以任意给定的正整数打头的2的方幂总不会失败的，但遗憾的是，我们没有找到好的办法来构造所求的方幂。值得指出的是，要找到以打头的2的方幂是不容易的，就是很简单的以打头的2的最小方幂竟达到。所以这个问题的构造方法仍需进一步的研究。尽管如此，定理6是一个值得注意的性质，它可一般化为： 推论7 设是任意正整数，则存在某个自然数和，使得： （是任意一个不是10的方幂的自然数），即能找到一个的方幂，它最前面的几位数恰好是。 这个结论可以用上述完全相同的方法去建立。 参考文献： [1]冉凯.数列在[0 ,1 ]上的一致分配问题[J]. 西安联合大学学报,2004,7(2),31-34 [2]刘玉琏，傅沛仁.数学分析[上册] (第三版) [M].北京：高等教育出版社，1999. The denseness of a number sequence and its appl