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作 业 * * 中值定理与导数的应用 第三章 微分中值定理 与导数的应用 第一节 微分中值定理 二、罗尔中值定理 三、拉格朗日中值定理 四、柯西中值定理 一、极值概念及费马引理 本节的几个定理都来源于下面的 在一条平面连续曲线段AB上, ⌒ 则至少有一点处的切线, 几何事实: 平行于两个端点的连线 , 即平行于两端点所在的弦 有水平的切线 除端点外,处处有 不垂直于 轴的切线 . 极值定义? 一、极值概念及费马引理 如果对 有 函数的极大值与极小值统称为极值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点. 为极大值点 为极小值点 注: 函数的极大值和极小值是局部性概念。 极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得. 极值点不唯一, 极大值不一定比极小值大. 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. 费马引理 若 则 (山峰、山谷若有切线必有水平切线) 证: 对 都有 即, 由导数定义 由极限的保号性 费马引理指出 可导函数的极值点必定是该函数的驻点 通常称导数为零的点 为函数的 驻点或稳定点 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 二、罗尔中值定理 几何意义: 若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必 有一条切线平行于轴，也即平行于两个端点的连线。 在两个高度相同的点之间的连续曲线上 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 费马引理: 若 则 证: 所以最值不可能同时在区间端点取得. 使 由费马引理, (1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 罗尔定理 (1) (2) (3) 使得 (1),(2)满足 (3)不满足 结论不成立. (1),(3)满足 (2)不满足 结论不成立. (1),(2)满足 (3)不满足 结论成立. 注： 例1. 解: 所以满足罗尔定理条件. (1) 验证定理的假设条件满足 (2) 结论正确 有实根 注: 罗尔定理强调了 的存在性, 至于 等于什么并不重要, 只要知道存在即可. 例2. 证: 由零点定理 即方程有小于1的正实根. (1)存在性 (2)唯一性 例2. 证: (2)唯一性 矛盾, 故假设不真！ 注 拉格朗日中值定理 使得 三、拉格朗日(Lagrange)中值定理 (1) (2) 几何意义: 若除端点外，每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必 有一条切线平行于两个端点的连线. 在两个高度不相同的点之间的连续曲线上 拉格朗日中值公式 分析: 从所证等式入手找到一个满足罗尔定理的函数 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 欲证 只要证 只要证 只要证 (利用导数的性质) 证: 作辅助函数 且 易知 由此得 由罗尔中值定理， 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 辅助函数 的几何解释: 说明: C 为任意常数 1.辅助函数 的几何解释 2. 这样的辅助函数可有无穷多个 欲证 只要证 只要证 只要证 C为任意常数 3.书上辅助函数的做法 4.Lagrange公式的其它形式: 恒等变形 拉格朗日中值定理又称 有限增量定理. 它精确的表达了函数增量和某点的 由(3)式看出, 导数之间的直接关系. 有限增量公式 设想为 拉格朗日中值定理的物理解释 把数 中值定理是说， 函数在区间内部某一点处的瞬时变化率 一定等于整个区间上的平均变化率. 例如: 一位货车司机在收费亭处收到一张罚单,说他在 罚单列出的违章理由是该司机超速行驶. 限速为80公里/小时收费道路上在2小时内走了180公里. 为什么？ 推论 证： 有 由假定, 即在区间I内任意两点的函数值都相等, 拉格朗日中值定理 (1) (2) 使得 例3. 证 由推论 自证 说明: 欲证 只需证在 上 且 使 例4 证： 记 ∴ 满足拉氏定理的条件, 通常就想到微分中值定理. 如果 在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系, 例5 分析： 欲证上述不等式成立， 只须证： 只须证： 为此只须证： 关键！ 构造 例5 证明： 由上式得 设 中值定理条件, 因此应有 由 * *