高考创新题的解法（续）.docVIP

高考创新题的解法（续） 以此类推f(n)=f(n(1)+,于是累加得f(n)== =。所以答案应填10；. 点评、， (1)求证：； (2)令，写出、、、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式； (3)证明：存在不等于零的常数p，使是等比数列，并求出公比q的值. 讲解 (1)采用反证法. 若，即, 解得 从而与题设,相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因为 又,所以, 因为上式是关于变量的恒等式，故可解得、. 3.观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°cos45°=， 写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 答案： sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)= 四、类比型 类比在数学解题中有着十分重要的作用。 类比推理可用如下图式描述：根据 其中分别与相同或相似， 推论：B类对象也具有与d相同或相似的属性d。 这种题目的特点是给出一个数学情境或一个数学命题，要求解题者发散思维去联想，类比，推广，转化，找出类似的命题，推广的命题，深入的命题. 常用的类比有： 1、平面与空间的类比 1.（2002年上海春季高考）如下图．若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点与点，则三角形面积之比．若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点，点和点，则类似的结论为：______________________________． 把立体几何知识与相关的平面几何知识类比，是实现知识迁移的有效方法，也利于化难为易，启迪思维。 如，关于勾股定理，可有几个类比： 勾股定理：在直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形中，有 类比1：长、宽、高分别为p,q,r,对角线长为d的长方体中，有 类比2：长方体交于某一顶点的三个长方形面的对角线长分别为p,q,r,长方体对角线长为d，则有 类比3：四面体交于一个顶点O的三条棱两两互相垂直，与O相邻的三个面的面积分别为A，B，C，与O相对的面的面积为D，则有： 我们知道正三角形内任一点P到各边距离之和为常数。分别从三条边相等与三个角相等类比，“在各边相同的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”和“在各角相等的凸多边形内任一点P到各边距离之和为常数”。可以证明这两个命题都是正确的（利用面积法证明）。 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.” 提醒：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … … 2.同类之间类比（椭圆与双曲线类比） 2.若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=，则{bn}也为等差数列.类比上述性质，相应地，若数列{cn}是等比数列，且cn0，数列{dn}满足dn= ，则数列{dn}也为等比数列. 答案：dn=（n∈N*） 3.（2000年上海市高考试题）在等差数列{an}中，若 a10= 0 ,则有等式a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19-n (n＜19 , n ∈N +)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9= 1 ，则有等式__________________成立． 4.有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）. 定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1. （Ⅰ）写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明； （Ⅱ）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论. 解：（Ⅰ）设直径的两个端点分别为A、B,由椭圆的对称性可得,A、B关于中心O（0,0）对称,所以A、B点的坐标分别为A（,B（. P（上椭圆上任意一点,显然, 因为A、B、P三点都在椭圆上,所以有 , ① , ②.而, 由①－②得： . 所以该定理在椭圆中的推广为：过椭圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值. （Ⅱ）该定理在双曲线中的推广为：过双曲线上异于直径两端点的任意