第十章行波法和分离变量法本征值问题.doc.docVIP

Chapter 10 行波法和分离变量法 本征值问题 Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。 求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。 一维无界空间域的自由振动问题 达朗伯公式 行波法和d’Alembert公式（以无限长弦的自由振动为例）: 其中和是已知函数。 特征方程：. 解得 .于是作代换 ，原方程化简为.解之得 ，这是因为 其中和是分别以为宗量的任意函数。因此，，将之代入初始条件，有 这就确定了和的函数形式， —d’Alembert公式。 物理意义： 在时空点波形如，到了下一时空点,波形变为如 则也就是说，是一个沿轴正方向以速度传播的行波；同理，是一个沿轴负方向以速度传播的行波。 在d’Alembert公式中， 第一项表示由初位移激发的行波在时的波形为，以后分成相等的两部分，独立地向左右传播，速率均为. 第二项表示由初速度激发的行波，时在处的速度为，在时刻，它将左右对称地扩展到的范围，传播速率也都是. 另外需要说明的是，这里我们没有明确写出边界条件，即或有界。严格来说，的确应该明确写出无穷远的条件。但是，对具体问题而言，这个条件可以由和的具体形式来得到保证。和总是会局限在一个有限的范围内，即，当增大时，和都会足够快地趋于. 因此，从d’Alembert解就可以看出，在有限的时间内，总还是在一个有限的范围内才不为. 从概念上说，所谓无穷长弦，当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就表示：在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计。 一维半无界域的自由振动问题 初始条件的延拓 齐次边界条件 端点固定： 其中和是已知函数。因为和以及仅仅在有定义，不能直接应用的d’Alembert公式。 为了能够应用d’Alembert公式，要设法将和以及的定义域延拓到（与Fourier展开时所作的延拓相似），并要满足边界条件. 如果这样的解找到了，那么它的的部分就是原定解问题的解。 为确定，将之代入边界条件，得 . 记，上式改写为 . 由此可见，的形式（当其宗量为负值时）可以取为（取法不唯一，只要满足上式即可） ，. 问题转化为 注意到，一定大于等于（因为），但可正可负，因此，当，即时， 当，即时， 综上所述，我们得到原定解问题（）的解 物理意义：此解的部分与无界区域问题的解形式上是完全一样的，这说明了这样一个事实，对弦上某一点来说，由于波的传播速度是，来自端点的扰动需要经历的时间才能影响到点。当时，端点的影响尚未到达点，这时点的振动就如同无界弦一样。 在端点固定的情况下，端点处永远是波节，所作延拓是奇延拓。当波在端点处发生反射时，反射波位相将与入射波形相反，即位相有一突变值—半波损失（详见教材pp202-203）：当波碰到原点时立刻变号（方向与大小均变号），即处的合成波是波节反射后反射波继续传播，不过此波与原来波的位相有一突变值(大小与方向均变号)。 但是，在端点自由的情况下（如半无界杆的端是自由的）： 为确定，将之代入边界条件，得 . 记，上式改写为 . 由此可见，的形式（当其宗量为负值时）可以取为 ， , 其中第一个式子来源于 这是偶延拓. 问题转化为 注意到，一定大于等于，但可正可负，因此， 当，即时， 当，即时， 综上所述，我们得到原定解问题（）的解: 非齐次边界条件 定解问题的解等于问题I的解和问题II的解之和，即 . 定解问题I的解前面已经给出， 现在讨论定解问题II的求解， （1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为，所以点的扰动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在区域，只能有向右传播的波而不能有向左传播的波。所以，变量和只能以或的组合形式出现于解中，而不能以另一种形式或的组合形式出现。 （2）就点来说，当时，点的扰动尚未影响到这点，这点仍处在平衡位置，所以解的形式是：. （3）最后，由边界条件确定的具体形式，得 所以， 分离变量法—（偏常）微分方程问题[定解问题I型(齐次边条)] 1. 一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动，存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D问题): 定解问题I型：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 第一步, 分离变量： 设[取此特解形式，可得驻波解：是振荡函数，而与无关，是幅度函数，与无关],将此代入方程，即得 等式两端除以，就有. 注意在这个等式中，左端只是的函数，与无关，而右端只是的函数，与无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个