哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭.pdfVIP

《國立政治大學哲學學報》 第二十一期 (2009 年 1 月) 頁 35-84 ©國立政治大學哲學系 哥德爾的不完備性定理 與心靈是否為機器的論爭 蔡行健 國立中正大學哲學系 摘要 哥德爾的不完備性定理是現代邏輯發展過程中所發現的最重 要的獨立性結果。在晚近的文獻中常可看到有些學者試圖利用不完 備性定理來證明不可能有能夠完整地模擬人類心靈的機器存在，持 此立場之較有代表性的學者有盧卡斯 (Lucas) 、潘若斯 (Penrose) 以 及麥扣 (McCall) 等。這些學者個別的主張雖不盡相同，但都認為: 對任何機器而言，根據不完備性定理，都會有一些數學命題是它所 無法證明的，但人類心靈卻可得知其為真。而持反對立場的學者， 如弗蘭森 (Franzén) 、林德斯仲 (Lindström) 、夏皮洛 (Shapiro) 及 蓋夫曼 (Gaifman) 等人則分別指出：上述學者的論證不足以保證所 宣稱的心靈相對於機器的優勢。在本文中，筆者將審視關於這個議 題的主要的正反論證，並釐清牽涉於論爭的幾個重要概念，如「機 器」、「證明」以及「一致」等。筆者將指出：限制在不完備性定 理的脈絡下，心靈是否為機器這個問題不可能有數學上或邏輯上的 明確答案，然而就哲學的觀點而言，機器論者必須承擔較大的舉證 責任。 36 國立政治大學哲學學報 第二十一期 關鍵詞：哥德爾、不完備性、心靈、機器、證明、一致 哥德爾的不完備性定理與心靈是否為機器的論爭 37 哥德爾的不完備性定理 與心靈是否為機器的論爭 壹、哥德爾的兩個不完備性定理及相關定理簡介 一般而言，哥德爾的不完備性定理是關於算術理論的後設邏輯 定理 (meta-logical results of number theory) ，但我們稍後會說明如何 將這些結果延伸應用到其他的邏輯理論。考慮一個公理化的第一階 邏輯理論 T 1 ，其語言 L 的意欲的詮釋 (intended interpretation)是 在自然數上。通常該語言會有常數符號 “0” ，二元述詞 “” ，一元 函數 “s” (successor) ，二元函數 “+” 、“×” 及 “E” (exponentiation) 。 這些符號都是我們所熟悉的，而它們在自然數上的詮釋也不言可 喻。由於任何一個該語言的句式 (formula) 都只包含有限多的符 號，如果我們將語言的符號對應到自然數上（不同的符號當然對應 到不同的自然數），則透過某種編碼方式，任一個句式也都會對應 到一個自然數。同樣地，一個由有限多的句式所構成的序列也可以 被對應到某個自然數。一般把此類型的編碼稱之為哥德爾編碼 1 這裏的「公理化的理論」指的是「遞迴公理化的理論」 (recursively axiomatized theory) ，也就是這些公理的哥德爾碼（見下文）所形成的集合是遞迴的，或是可被 決定的 (decidable) 。簡單而言，這表示給與任何語句（使用所考慮的理論的語言）， 我們有一個有效的程序來決定這語句是否為公理之一。 38 國立政治大學哲學學報 第二十一期 (Gödel numbering) 。此編碼的目的在於讓這語言能夠提及自身所使 用的符號及使用這些符號所形成的句式，這也使得一些語法上的項 目 (syntactic items) 能被語言本身所定義。對理論 T 也有一個基本 要求： (i) T 最少要能證明所有在自然數為真的不等式 m≠n ，及為真 的等式 m+n=k 與 m×n=k