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全機率律與貝氏法則
機率與統計(96下) 單元 10: 全機率律與貝氏法則
單元 10: 全機率律與貝氏法則
(課本 x2.10)
定義 1. 稱 fB1; B2 ; : : : ; B g 為 S 的一分割
k
(partiton), 若下列二項成立 :
(1) S = B1 [ B2 [ [ Bk
(2) Bi \ Bj = ;; i =6 j
定理 2.8 (全機率律 , Law of Total
Probability). 設 fB1; B2 ; : : : ; B g 為 S 的一分
k
割且 P (B ) 0; i = 1; 2; : : : ; k. 則對任一事件 A,
i
k
P (A) = X P (AjB )P (B )
i i
i=1
證 因為 fB1; B2 ; : : : ; B g 為 S 的一分割 , 可得
k
A = A \ S
= A \ (B1 [ B2 [ [ Bk)
= (A \ B1) [ (A \ B2) [ [ (A \ Bk)
(根據分配律)
1 中大數學系于振華
機率與統計(96下) 單元 10: 全機率律與貝氏法則
且 A \ Bi 間互斥, 如下圖所示 :
接著根據互斥事件的加法律以及乘法律 , 得
P (A) = P (A \ B1) + P (A \ B2) + +
P (A \ Bk)
= P (AjB1)P (B1) + P (AjB2)P (B2) +
+ P (AjBK )P (Bk)
k
= X P (AjB )P (B )
i i
i=1
註 . 經常直接求 P (A) 不易, 但容易求 A 的條件機率
P (AjB ), 而以全機率律間接地求 P (A).
i
定理 2.9 (貝氏法則 , Bayes Rule). 設
fB1; B2 ; : : : ; B g 為 S 的一分割且 P (B ) 0,
k i
i = 1; 2; : : : ; k. 則對任一事件 A,
P (AjB )P (B )
P (B jA) = j j
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