二、因式分解.docVIP

二、因式分解 在第一章中，我們知道兩個x的一次式乘積展開後成為x的二次多項式。反過來說，如果能將一個x的二次式寫成兩個x的一次式的乘積，我們稱這樣的過程為這個二次式的因式分解。此時，這兩個一次式都稱為二次多項式的因式，而這個二次多項式則稱為這兩個一次式的倍式。 在高中的課程中，我們也將一個多項式寫成幾個一次或二次的多項式的連乘積，這種過程也稱為這個多項式的因式分解。例如： = = 在國中階段做因式分解時，我們只考慮因式的係數為有理數（整數或分數）的情形。但從此以後，我們將不再要求因式的係數一定是有理數。 現在來介紹幾個常用的方法：提公因式、分組分解、十字交乘和利用乘法公式。 2-1 提公因式 【從各項提公因式】 如果發現每一項都有共同的因式時，我們可先將此公因式提出。 【範例1】因式分解下列多項式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = (ab)( ab)2( ab) = (ab)[(ab)2] = (ab)(ab2) (3) = = = 【分組提公因式】 當各項沒有公因式時，可嘗試分組或去括號重新分組，使得每組之間有公因式。 【範例2】因式分解下列多項式： (1) (2) (3) (4) 【解】 (1) = = (2) 方法一： = = = 方法二： = （交換律） = = (3) 方法一： = = = 方法二： = = = (4) 可嘗試去括號展開後，再重新分組。 = = = = = 從上面的例子我們可以看出，某些多項式可能有不只一種分組的方式來做因式分解。 【拆項後分組提公因式】 有時候，可嘗試先將多項式中某一項拆開後，再利用分組提公因式。 【範例3】因式分解下列多項式： (1) (2) 【解】 (1) = = = (2) = = = = = 事實上，範例3的第(2)題也可用分組的方式來因式分解： = (x4x22)(3x33x) = (x21)(x22)3x(x21) = (x21)(x23x2) = (x1)(x1)(x1)(x2) = (x1)2(x2)(x1) 【類題練習】因式分解下列多項式： (1) (2) 【家庭作業】 因式分解下列多項式： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2-2十字交乘法 因為大家都已熟悉十字交乘法，所以在這裡只舉例，而不做文字說明。 【二次三項式】 【範例1】因式分解下列多項式： (1) (2) 【解】 (1) = (2) = 【類題練習】因式分解下列多項式： (1) (2) 【家庭作業】 因式分解下列多項式： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2-3利用乘法公式 【範例1】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = (2) = = (3) = = = （或寫成） 【平方差】 【範例2】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = = = = (2 ) = = = = (3) = = = = 【立方差、立方和】 = = 【範例3】因式分解下列各式： (1) (2) (3) 【解】 (1) = = = (2) = = = (3) = = = 【類題練習1】因式分解下列各式： (1) (2) 　　在範例3的第(3)題中，也可以將寫成，因此得到： = = = 顯然的，可以再分解，我們將在下一個單元裡，介紹它的分解方法。 【配方法】 利用完全平方公式或完全立方公式，再配合平方差公式或前面介紹的方法，可以處理一些特殊多項式的因式分解，這裡需要一些拆項(分項)或補項(加減項)的技巧，要多練習。 【範例4】因式分解下列多項式： (1) (2) 【解】 (1) = = = = = (2) = = = = = 事實上，在範例的第1)題中= 也是一個常見的乘法公式。 【類題練習2】 因式分解下列各式： (1) (2) 【範例5】因式分解下列多項式： (1) (2) 【解】 (1) 雖然可以直接引用立方差公式來因式分解，我們也可以用補項的概念來因式分解。 = = = = = (2) 很顯然，無法直接使用平方差公式來分解。所以，我們嘗試用補項的方法來克服困難