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数学分析课程中的否定命题 陈 纪 修 （复旦大学数学科学学院，上海市，200433 ） 摘 要：数学分析课程中关于否定命题的教学对培养学生逻辑思维与论证推理能力具有重要 意义，本文通过具体的例题，探讨在数列的收敛性、函数的一致连续性、函数项级数与含参 变量反常积分的一致收敛性等数学分析的重要章节讲解否定命题、证明否定命题与利用否定 命题的数学表述来进行证明的教学方法。 关键词：一致连续，一致收敛，Cauchy 收敛原理 数学分析课程中证明定理或解答问题时，随时会遇到一个命题的否定命题的 概念。在课程中典型地使用否定命题进行证明的定理就有：关于闭区间上的连续 函数一致连续的 Cantor 定理；函数序列与函数项级数一致收敛的 Dini 定理；含 参变量反常积分一致收敛的 Dini 定理，等。如何正确地写出一个命题的否定命 题的数学表述，如何证明一个否定命题，或如何利用否定命题的数学表述来证明 其他命题，是数学分析课程中很重要的一个内容，也是教学中的一个难点。学生 在这方面的能力培养单靠以上几个定理的学习是远远不够的，在教学中我们有意 识地在不同章节通过具体实例来讲授如何证明否定命题，如何在证明中应用否定 命题的方法，对提高学生的逻辑思维与论证推理能力起到了很好的效果。 1．数列的收敛与发散 例 1 若有界数列｛x n ｝不收敛，则必存在两个子列{x(1) }与{x( 2 ) }收敛于 n n k k 不同的极限，即lim x(1) = a ，lim x( 2 ) = b ，a ≠b 。 n n k →∞ k k →∞ k 证 因为｛x ｝是有界数列，由Bolzano-Weierstrass 定理，可知存在｛x ｝ n n 的一个收敛子列｛x (1) ｝，设lim x(1) = a 。 nk k →∞ nk a a 由于｛x ｝不收敛，当然｛x ｝不收敛于 。｛x ｝收敛于 的数学表述为： n n n ∀ε 0 ，∃N ∈N + ，∀n N ： x −a ε 。 n 于是可知｛x ｝不收敛于a 的数学表述为： n ∃ε 0 ，∀N ∈N + ，∃n N ： x −a ≥ε 。 0 n 0 取N 1 1，∃m N ： x −a ≥ε ， 1 1 m 0 1 N 2取m1 ，∃m2 N2 ： xm −a