第四节多项式的分解.pptVIP

* * * * 一、不可约多项式的概念和性质 二、唯一因式分解定理 一、不可约多项式的概念和性质 若 ，则 总是 的因式，叫作它的平凡因式. 定义 令 是 的一个次数大于零的多项式.若是 在 中只有平凡因式， 就说是在数域F上（或在 中）不可约.若 除平凡因式外，在 中还有其它因式， 就说是在F上（或在 中）可约. 这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述. 若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说： 如果 的一个 次多项式能够分解成 中两个次数都小于n的多项式 与 的积： （1） 那么 在F上可约. 若 是在 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么 在F上不可约. 不可约多项式的性质： 1）如果多项式 不可约，那么F中任一不为零的元素 c与 的乘积 也不可约. 2）设p (x)是一个不可约多项式而f (x)是一个任意多项 式，那么或者p (x) 与f (x)互素，或者p (x)整除f (x) . 3）如果多项式f (x)与g (x)的乘积能被不可约多项式p (x) 整除，那么至少有一个因式被p (x)整除. 如果多项式 的乘积能被不可约多项式p (x) 整除，那么至少有一个因式被p (x)整除. F [x] 的每一个n (n0)次多项式f (x)都可以分解 成F [x]的不可约多项式的乘积. 定理 2.4.1 二、唯一因式分解定理 证 若是多项式 不可约，定理成立. 这是可以认为 是一个不可约因式的乗积： 若 可约，那么 可以分解成两个次数较低的 多项式的乗积： 若因式 与 中仍有可约的，那么又可以把出现的 每一个可约因式分解成次数较低的多项式的乗积. 如此 继续下去. 在这一分解过程中，因式的个数逐渐增多， 而每一因式的次数都大于零，但 最多能分解成 个次数大于零的多项式的乗积，所以这种分解过程 作了有限次后必然终止. 于是我们得到 其中每一 都是 的不可约多项式. 此处 此处 是F的不为零的元素. 换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f (x)分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的. 令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且 都是 的不可约多项式. 那么 ，并且适当 调换 的次序后可使 例 在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.容易看出 （7） 一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的乘积，因此将能写成 （8） 的形式，这里a和b是有理数.把等式（8）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得a + b = 0 , ab= -2,由此将得 .这与a是有理数的假定矛盾.这样,（7）给出多项式的一个不可约因式分解. 我们还可以如下证明 在有理数域上不可约.如果（8）式成立，那么它也给出 的实数域上的一个不可约因式分解.但在实数域上 因此由唯一分解定理就得出 的矛盾. * *