正方形考点例析.docVIP

此文发表于《学习报》九年级2005-2006学年第6期 直击中考 点击正方形 浙江省象山县鹤浦中学315733 刘学勇 正方形的性质： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。 正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形。或有一组邻边相等的矩形是正方形。对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 正方形是最特殊的四边形，不论中考还是各类竞赛考试中经常出现..其中有以下几类题型.现举例如下. 正方形中的边长与面积计算. 例1.如图1，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是----. A.15 B.12 C. 11 D.10 解：过点E作EG⊥BC垂足为G.. ∵ EC⊥FC ∴∠CEG=∠FCB ∵正方形的四条边都相等，四个角都是直角 ∴EG=BC ∠CGE=∠FBC=Rt∠ ∴△CEG≌△FCB（AAS） ∴CE=CF ∵△CEF的面积是200 ∴?CF·CE=200 即CF=20 ∵正方形ABCD的面积为256 ∴CB=16 ∴BF=12 例2.如图2，正方形BCDE 和ABFG的边长分别是2a，a，连结CE 和CG ，则图中阴影部分的面积是----------. ；CE 和CG的大小关系是——. 解：S阴影= S正方形CBED+S正方形BAGF-S△CDE-S△CAG =4a2+ a2-2 a2-?×3a×a = ∵正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 由勾股定理得CE2=8 a2，CG2=8 a2，CE＞0，CG＞0 ∴CE=CG 正方形中的证明. 例3. 如图，在正方形ABCD中，以对角线AC为一边作一等边△ACE，连结ED并延长交AC于点F. （Ⅰ）求证：EF⊥AC； （Ⅱ）延长AD交CE于点G，试确定线段DG和线段DE的数量关系. (I)证明（一）：由已知,得 ∴△AED≌△CED . ∴∠AED＝∠CED . 又∵△AEC为等边三角形, ∴EF⊥AC 证明（二）：由已知,得 DA=DC，EA=EC. ∴ DE是AC的中垂线 ∴ ∴EF⊥AC （II）解法一： 过G作GM⊥EF，垂足为M. 由已知和(Ⅰ) ，得 ∠AED＝∠CED＝30o，∠EAD＝150 . ∴∠EDG＝45o . ∴MD＝GM . 设GM＝x,则DG＝. 在Rt△MEG中，EG＝2MG＝2x , ∴EM＝ . ∴ED＝+＝（） . ∴. 即DE＝DG （ 或） . 设EM＝DM＝x， 则DE＝x . 在Rt△AEF中，cot300＝, ∴DF＝AF＝ . ∴AD＝. ＝ . ∵△CDG∽△AME , ∴. 即. ∴DG＝ . ∴. 即 （ 或）. 例4已知：如图3,正方形ABCD中，点E，F是AD，DC上的点且∠EBF=45°， 求证：EF=AE+CF. 证明：延长FC到G，使CG=AE. 连结BG， ∵四边形ABCD是正方形. ∴BA=BC. ∠A=∠ABC=∠BCF=∠BCG= Rt∠， ∴△ABE≌△CBG， ∴BE=BG.，∠ABE=∠CBG， 又∵∠EBF=45°， ∴∠GBC+∠CBF=∠ABE+∠CBF=45°，BF是公共边， ∴△EBF≌△GBF， ∴EF=FG，即EF =AE+CF. 三.正方形中的探索题 例5. 观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图,在△ABC中,D为BC边上的一动点(D点不与B、C两点重合)。DE