锐角三角比在综合题中的应用（万兆云）.doc.docVIP

锐角三角比在综合题中的应用 众所周知中考试卷的最后压轴题安排的是带有一定难度或复杂程度的综合题，其目的就是为了有效地区分出学生的档次，使那些基础扎实、有较强分析问题、解决问题能力的考生脱颖而出。因此，为了使学生在考试中有突出的成绩，学生就要在带有选拔性的综合题上狠下工夫，而有效提高学生的综合题解题能力正是我们教师在教学过程中面对的重要课题。 初中数学由代数、几何、三角三门分科组成。本人经过自己的教学实践和理解，将综合题分为以下两类：一类是由每门分科的两个或两个以上的重要知识点构成的，称为基本综合题；另一类是由两门或三门不同分科的知识点构成的，称为复杂综合题。 简单综合题对于大多数学生来讲往往训练有素，教师平时的讲解也比较详尽，因此学生在解题时比较得心应手。而复杂综合题对于学生乃至教师感到最为棘手：一方面学生由于自身解题能力有限，从而在解题时往往捉襟见肘，同时许多学生对复杂综合题还存在着畏难情绪。就教师本身而言，因自身教学方法的匮乏而感觉学生在学习过程中不得要领，最终也只能以“题海”战术来强化学生“理解”，希望所谓“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟”的效果出现。正因为如此，所以普遍存在的师生共漫“题海”现象在复习阶段特别明显。尽管教师以一些“经典”的有层次、有坡度、大题量的练习方式增强了综合题的覆盖面并对学生解答综合题有一定的强化与促进作用，但学生在这种“地毯式”的轰炸下，常常疲于奔命，头昏脑胀，处于一知半解状态，只会机械模仿。只有“举一”之功，而无“反三”之力。因此难以提高学生的应变能力。 所以本人认为与时俱进地对现有教学知识点归纳总结与大胆突破是提高教学效率、解决教学瓶颈的最有效方法。而优化并整合学生已经熟练掌握的简单综合题解题技巧，另辟溪径地归纳和提升简单综合题解题方法，不但能使学生经历和体验数学知识的创生和发展的过程，更可以有效地提高学生解复杂综合题解题能力。 以下就是本人在教学中运用以上教学方法进行有效教学尝试的一个实例： 在近几年的初中三角函数教学中，我们经常可以看到这样一类填空题： “利用三角函数的定义，求= ”。 这道具有较高综合性题最早曾以中考题的形式出现，并且，所以在随后很多初三模拟试卷中被引用，同时马上就引起很多初三教师的关注。但是由于这道题目本身是以填空题的形式出现，且锐角三角比在初中阶段仅作为今后高中阶段三角函数的入门教学，所以大多数教师对这道题仅就题解题地停留在讲解此题的构造技巧上，而未对其本身的独特数学方法加以细致提炼和归纳，从而忽略了其与综合题的整合作用，浪费了其潜在的教学价值。 如果对这道题认真解析，我们就能引申出一些重要的结论，在此基础上举一反三，就可以在许多现成的综合题中发挥出它与众不同的作用！ 首先我们先构造如图的数学模型来解决以上问题：在△BDC中， ，，在DC边上作点A，使，易得：，于是可用“设k法”来表示图中的一些线段长度，并根据三角函数的定义推导出： 类似地，我们同样还可以启发学生求出： 至此，我们不妨鼓励学生将以上推理过程中的已知条件进一步进行抽象处理，这样就能够得到更具一般化的结论： 若，则（推理数据如下图） 此时，我们可以结合以往在解题时经常出现的一些特殊三角形，利用以上推论得到以下两个在许多综合题中非常有用的结论：（具体数据如图） 若，则 若，则 以下，列举三道常见综合题来简要说明上述锐角三角比结论在具体综合题求解过程中的运用： 在△ABC中，，⊙P和⊙Q是两个外切等圆，并且分别和三角形的两边相切，求这两个等圆的半径。 （上海市数学竞赛试题） 解析： 联结AP、BQ和PQ，作，，垂足分别是G、H，设等圆的半径为r。 易得AP平分，BQ平分，根据推论由：得：，同理由得，因为，所以，而，所以，得 【例2】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长为5． （1）求证：AB≠AC； （2）如果△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值； （3）如图，在第⑵小题的条件下，如果ABAC，⊙O与边AB、BC分别相切于点D、E，与边AC相交于点F、G，设BE=x，FG=y，求y与x的函数解析式，并写出它的定义域．（浦东新区模拟考试题） 解析： 由，所以，，显然，所以AB≠AC 由，得，（舍） 由⑵知：，，作垂足为H，联结OF、OD和OB，由，且，所以，所以。在Rt△OHF中：，即， 所以：， 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1