第三章环.ppt.pptVIP

§ 3.2- § 3.3 目的与要求: ◆掌握无零因子环的特征的概念及性质． . ◆掌握子环的概念及判别准则;掌握同态、同构的定义及基本性质． § 3.4- § 3.5 目的与要求: ◆掌握多项式环的概念,理解未定元的定义及存在性． ◆熟练掌握理想的概念与性质、以及主理想的概念和特殊环条件下主理想的元素形式． § 3.6- § 3.7 目的与要求: ◆掌握环的同态基本定理、极大理想的概念与相关性质． ◆了解商域的概念以及它的存在与唯一性． 注: (1)理想一定是子环，反之未必． (3) 有左、右理想的概念． (2)设R是有单位元的环， ，则　 (4)对于任意环R，{0}和R都是理想，分别称之为 零理想和单位理想. (5)任意多个理想的交仍为理想，但并则未必. 定义3.5.2　只有零理想和单位理想的环称为单环． 定理3.5.1?? 除环是单环． 证明 假设R是除环 则存在非零元素 于是有 ，从而 例 1设R是整数环 ，则n的所有倍数之集 构成R的一个理想． 例 2 设R[x]为环R上的一元多项式环，则所有如下形式的 多项式 之集作成R[x]的一 个理想． 定义3.5.3　设R是一个环，T是R的一个非空子集，则称 R中所有包含T的理想的交为由T生成的理想，记为(T), 即 . 特别地，若T={a}，则简记(T)为(a)，称 之为由a生成的主理想． ． 显然，(T)是R中包含T的最小的理想. 定理3.5.2　设R是环， 则 推论3.5.3　设R是环， 则 （1）当R是交换环时， （2）当R有单位元时， （3）当R是有单位元的交换环时， 推论3.5.4　设R是环， , 则 此时记(T)为 例 假定 是整数环 上的一元多项式环，求理想 ， 并判断其是否为 的主理想． 解 因为 是有单位元的交换环，故 即 刚好包含所有常数项是偶数的整系数多项式.． 下面证明 不是一个主理想： 事实上，若存在 则存在 使得 考虑次数和系数可得 ，于是 矛盾. 定理3.5.3 设R是环， ，则R/I构成一个环，称之 通常也记为 ，称之为x所在的等价类或 为R关于理想I的商环（剩余类环）．其中元素 x模I的剩余类． 例 任意n∈Z，(n)={nk|k∈Z} 整数环 的一个理想， 则有商环 其中 称之为模n的剩余类环，一般记为 练习：　求 的所有理想？ (提示：考虑 的所有子加群.) §3.6 同态与理想 定理3.6.1 设 是环， ，则存在自然的满同态 定理3.6.2（同态基本定理）设 是环 到环 的一个 同态映射，则 (1) ，称 为同态 的核； 　　 (2) ； (3) . 推论3.6.3 设 是环 到环 的一个同态满射，则 . 注: 和群论中一样，还有其他一些同构定理（如方块定理、对应定理、分式定理等）． 定理3.6.4 设 是环 到环 的一个同态满射，则 (ⅰ) 则 （即子环的象是子环）； (ⅱ) 则 （即理想的象是理想）； (ⅲ) 则 （即子环的原象是子环）； (ⅳ) 则 （即理