空間中的九點圓與尤拉線-旺宏教育基金會.pdfVIP

第七屆旺宏科學獎 成果報告書 參賽編號：SA7-179 作品名稱：空間中的九點圓與尤拉線 姓名：鄭鉅翰 關鍵字：九點圓、垂心、三角形多面體 空間中的九點圓與尤拉線空間中的九點圓與尤拉線 空間中的九點圓與尤拉線空間中的九點圓與尤拉線 摘要摘要 ：： 摘要摘要 ：： 我們證明了 ： 一、四面體各面上的九點圓共球面的充要條件是此四面體為 「對直四面體」。此球 面我們稱為對直四面體的 「24 點球面 」。 二、24 點球面之球心恰為四面體之重心 。 三、八面體各面上的九點圓共球面的充要條件為 「具有外接球的對直八面體」，此球面 我們稱為八面體的 「48 點球面 」。 四、有「24 點球面 」的四面體及有 「48 點球面 」的八面體 ，皆存在空間中的尤拉線， 但其比例與二維不同 。 五、48 點球面之球心亦位於尤拉線上 ，且有固定比例關係。 我們也試著將結果推廣到其他 由三角形所組成的多面體上 。 壹、壹 、研究動機研究動機 ：： 壹壹 、、研究動機研究動機 ：： 自從上了高二之後 ，學到許多關於三維空間上的數學概念。有人說立體是平面的推 廣，一維的線 ，可以拉到二維變成面；二維的面，拉到三維變成體。再加上有一次數學 老師在課堂上介紹有趣的定理 －九點圓定理 ，於是我們就很好奇 ，當平面上三角形的九 點圓被放到立體空間中四面體的四個面上時 ，各面上的四個九點圓是否會共球面？而具 有這種球面的四面體又會有怎樣的性質 ？ 貳貳、、研究目的研究目的 ：： 貳貳、、研究目的研究目的 ：： 一、研究由四面體的四個面上的九點圓是否會共球面的條件 。 二、三角形之九點圓的相關性質是否能推廣到上述的四面體 。 三、三角形之九點圓的相關性質是否能推廣到其他的多面體 。 四、尤拉線在空間中的特性 。 参、参 、研究器材研究器材 ： ： 参参 、、研究器材研究器材 ：： 白紙 ，電腦，GSP ，Cabri 3D ，筆（原子筆＋鉛筆＋自動筆），圓規 ，尺，橡皮擦。 肆肆、、研究過程及方法研究過程及方法 ：： 肆肆、、研究過程及方法研究過程及方法 ：： A 一、九點圓定理及其相關性質 （一）九點圓（又名歐拉 （Euler ）圓）定理 ： P L 對任意三角形 ABC ，三角形的三邊的中點 D ，E ，F ， F E 三高的垂足 K ，L ，M 和頂點到垂心 H 的三條線段 中點 M P ，Q ，R ，這九點必定共圓。 H R （二）對任何三角形，九點圓的圓心在歐拉線上， Q B C 在垂心 H 到外心 O 的線段的中點 。 K D （三）九點圓的半徑是三角形 ABC 外接圓半徑的一半 。 圖（一） 1 證明 ：