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多邊形鏡射性質之探討 林毓暄 台北市立建國高級 中學 Abstract Given an N-polygon and a point P, using this N-polygon’s each side as the axis of symmetry with the point P being mirrored we get the new N points. These new N points form a new N-polygon and we call this action the mirror transformation. In this project we discuss iterations of the mirror transformation, in particular the relationship between the new N-polygon and the original given one. I found that the N-th N-polygon and the original one is similar to each other with a fixed ratio. 摘摘摘要要要: 給定一個 N 邊形和任意一點 P, 以此 N 邊形各邊所在的直線分別為對稱軸, 將 P 點作鏡射後, 可以得到新的 N 個點, 這新的 N 個點可以構成一個新的 N 邊形, 這個動 作我們稱為“鏡射變換 ”. 本研究主要是探討作了 N 次鏡射變換後所形成的新 N 邊形和原先給定的 N 邊形 之間的關係, 我們發現當重複此動作 N 次後, 得到的第 N 個 N 邊形會和原先給定的 N 邊形相似, 而且比值為定值. 1 簡簡簡介介介 1.1 動動動機機機 在一次的數學課上, 老師偶然的提到三角形的鏡射變換: 給定一個三角形和一點 P, 將 P 點 以三角形 ABC 各邊為對稱軸做鏡射後, 可得到的新的三個點, 這三點可構成新的三角形 DEF, 這稱為一次鏡射變換, 再以 P 點對三角形 DEF 做一次鏡射變換, 又得到另一新的三 角形 GHI, 以此類推. 我發現當做 了三次鏡射變換後, 得到的三角形會和原先的三角形相 似. 而且當 P 點在特殊位置時, 變換後得到的三角形會有退化成直線的情形. 另外, 當把所 有鏡射變換後的三角形放在一起時, 在某些情況下會形成一個螺旋狀的圖形如 圖 1, 或者 形成一些特別的圖形, 這些特別的性質引起我的興趣, 所以我想要深入的研究它. 1.2 研研研究究究主主主題題題與與與參參參考考考資資資料料料 關於之前的研究成果只找到第六屆旺宏科學獎林耿任 同學的作品“三角形的鏡射變換”, 但 是他鏡射的方法和我不一樣, 因此參考價值不高. 而本次研究主要是研究一點對 多邊形鏡 1 射變換後的情形, 證明當任意 N 邊形鏡射過 N 次後會和原 多邊形相似, 找 出它們之間相 似的比例關係, 並找 出一次鏡射後為凹多邊形或凸邊形的原因. 圖 1 1.3 研研研究究究方方方法法法 首先利用鏡射三角形會和垂足三角形相似, 再利用垂足三角形的四點共圓性質來證明: 當 P 點在三角形 內部時經過三次鏡射變換後的新三角形會和原三角形相似, 又以相同的方法 來證 明 P 點在原三角形外部時, 鏡射變換後的三角形, 發現角度變換 的關係和之前不 同, 因此無法單純的使用四點共圓, 在此又加上了正弦定理來證明此現象. 當邊數大於等於 四以上且 P 點在 內部時, 本來使用和三角形一樣的方法. 但是發現 凸 四邊形鏡射後可能會變成 凹四邊形, 這和原先的假設不 同. 因此衍生出用角度旋轉的概念 來證明. 1.4 符符符號號號定定定義義義 設原來 N 邊形為 A1A1A1 A1 , 把第 M 次變換的垂足 N 邊形稱為 AM 1AM 1AM 1 AM 1 . 1 2 3 N