95數甲解析(翰林).docVIP

95學年度指定科目試題—數學甲 一、單一選擇題( )試問方程式(x2+x+1)3+1=0有幾個相異實數解?0個1個2個3個6個 ( )在坐標平面上,設P為y=2+x-x2圖形上的一點。若P的x坐標為log310,則P點的位置在第一象限第二象限第三象限第四象限坐標軸上 ( )在坐標平面上給定兩點A(1,3)與B(5,6)。考慮坐標平面上的點集合S={P│△PAB之面積為10且周長為15},則 S為空集合 S恰含2個點 S恰含4個點 S為兩線段之聯集 S為兩直線之聯集 二、多重選擇題( )擲一次均勻硬幣4次,恰好出現n次正面的機率記為an;擲一枚均勻硬幣8次,恰好出現n次正面的機率記為bn。試問以下哪些選項是正確的? a2= a2=b4 b2=b6 a3b3 b0,b1,b2,……,b8中的最大值是b4 ( )在坐標平面上以Γ表示拋物線y=x2的圖形。試問以下哪些方程式的圖形可以由Γ經適當的平移或旋轉得到?y=2x2y=-x2x=y2y=x2+4x+3(x+y)=(x-y)2 ( )考慮多項式函數f(x)=x5+2x4-x3-5x2+3,試問以下哪些選項是正確的? =0(k為正整數) =0 函數f在區間〔,1〕遞增 若x≧0,則f(x)≧0 在坐標平面上y=f(x)的圖形與直線y=3恰有兩個交點 三、填充題設,為兩非零向量。以││表之長度,若││=2││=│2+3│,且θ表與之夾角,則cosθ=________。(化成最簡分數) 在坐標空間中,球面S交xy平面於一半徑為,圓心為(2,3,0)的圓,且S通過點(6,6,6),則S的半徑為________。 設實係數二階方陣A滿足A=,A=。若A=,則a=________,b=________,c=________,d=________。 不透明箱內有編號分別為1至9的九個球,每次隨機取出一個,記錄其編號後放回箱內;以P(n)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。已知存在常數r,s使得P(n+1)=r+sP(n)對任意正整數n都成立,則r=________,s=________。(化成最簡分數) 以O表坐標平面的原點。給定一點A(4,3),而點B(x,0)在正x軸上變動。若(x)表長,則△OAB中兩邊長比值的最大值為________。(化成最簡分數) 四、計算題將48510分解成質因數的乘積。 寫出在1和250之間且與48510互質的所有合數(合數就是比1大而不是質數的整數)。 解: 傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的。這定海神針在變形時永遠保持為圓柱體,其底圓半徑原為12公分且以每秒1公分的等速率縮短,而長度以每秒20公分的等速率增長。已知神針之底圓半徑只能從12公分縮到4公分為止,且知在這段變形過程中,當底圓半徑為10公分時其體積最大。 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大? 試求定海神針原來的長度。 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒,試求金箍棒的長度。 解: -------------------《答案》------------------- 一、單一選擇題 1.2.3. 二、多重選擇題 4.5.6. 三、填充題 a=4,b=-3,c=-9,d=7r=,s= ------------------《試題解析》------------------ 一、單一選擇題 令y=x2+x+1,則y3+1=0(y+1)(y2-y+1)=0 ∵y2-y+1=0無實數解∴y=-1即x2+x+1=-1 x2+x+2=0之判別式12-4×2=-70 亦無實數解,故方程式無實數解,選 本題只須判斷x,y之正負即可 x=log310log31=0∴x0 y=2+x-x2=-(x-2)(x+1)=-(log310-2)(log310+1) ∵log310log39=2∴y0 由、知P(x,y)在第四象限,故選 周長++=15,而=5∴+=10 P在以A,B為兩焦點,長軸長2a=10的橢圓上 又△PAB面積=×h=10,因此△PAB的高h=4 由a=5,c==得b===h 作與平行且距離4的直線,與橢圓有4個交點 故選 二、多重選擇題 由題意知an=C()4,bn=C()8 a2=C()4=∴a2≠ b4=C()8=∴a2≠b4 b2=C()8=C()8=b6 a3=C()4=,b3=C()8=∵=∴a3b3 b0==b8,b1==b7,b2==b6,b3==b5,b4=,最大值是b4 故選 Γ:y=x2經平移會改變頂點位置,因此正確,經旋轉會改變開口方向,因此正確,但不會改變開口大小,因此錯誤 考慮y=x2與x=y2=(-y)2 令=,則== 因= 所以x=y2為y=x2圖形旋轉(-)所得,正確 考慮y=x2與(x+y)=(x-y