梅森素数的魅力.pptVIP

The fascination of Merssen prime 梅森素数的魅力 F0903003 冯华雨 1.梅森素数的由来 The fascination of Ｍersenne prime 在这些满足条件2p-1的素数当中，有着无穷的魅力。 欧几里得在《几何原本》中证明了如果2P－1是一个素数，那么2P－1（2P－1）一定是一个完美数（你会发现，当P分别等于2、3时，它就对应着前两个完美数6、28）。 此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等都研究过这种特殊形式的素数。而17世纪的法国数学家梅森（Ｍ.Ｍersenne）是其中成果最为卓著的一位。 由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p－1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中Ｍ为梅森姓氏的首字母）；如果Ｍp为素数，则称之为“梅森素数”(Ｍersenne　prime)。2300多年来，人类仅发现46个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学海洋中的璀璨明珠”。梅森素数一直是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点。 2.梅森素数的发展 1、经过简单的计算，我们可以很容易地得到一些较小的梅森素数。 比如3，7，31等等。 正因为梅森素数貌似简单，而研究难度却很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算，因此吸引了不同时期的数学爱好者们的关注。即使属于“猜测”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也具有10位数。可以想象，它的证明是十分艰巨的。正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力。梅森素数像一个谜一样，被人们不断地追寻。但是由于当时仅靠人力运算，即便找出一个数也很难去验证他是否为梅森素数。这就存在一个比较大的问题。 3.梅森素数的意义和价值 * * The fascination of Ｍersenne prime 在前面的课程中，我们学到，欧几里德证明了素数有无穷多个。 在给出证明之后，欧几里德还指出，有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1 正是其中排列最前的4个！ 我们知道，素数也叫质数，质数除了本身和 1 以外并没有任何其他因子，比如，2，3，5，7，11就是比较常见的质数。 The fascination of Ｍersenne prime 即 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14 有兴趣的同学可以继续验证下去 The fascination of Ｍersenne prime The fascination of Ｍersenne prime 马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。 梅森热心于宗教，但更喜爱数学；他是一个交往广泛、热情诚挚的人，更是一座“科学信息交换站” The fascination of Ｍersenne prime 例如M2=22-1 M3=23-1 The fascination of Ｍersenne prime 2、在2300多年前，欧几里得在提出这个观点时，发现了22－1、23－1、25－1、27－1 ，随着指数p的增大，要验证一个数是梅森素数，存在着很多的困难。基于当时的运算水平，他没有找到更大的梅森素数。 3、1456年，一个没有留下姓名的人发现了第5个2P－1型的素数：213－1。 The fascination of Ｍersenne prime 4.欧拉算出的M12（也就是第12个梅森素数）具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，他因此获得了“数学英雄”的美誉。难怪法国大数学家拉普拉斯（P.Laplace）向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。 5、1644年，梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P－1作了大量的计算、验证工作，并于该年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67、127，257时，2P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被