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漫談質數 梁子傑 香港青松中學 甚麼是質數？ 一個祇能被 1 與及本身整除並且大於 1 的整數。 質數又稱「素數」。 質數：2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , … 合數（合成數）：4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 … 單位：1 《幾何原本》 歐幾里得（Euclid of Alexandria; 約公元前 330 ? 約公元前 275） 《幾何原本》的內容 第一卷　幾何基礎篇 一個重要的命題 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 證明 假設質數祇有有限多個。 由此可設最大質數為 P。 定義 Q = 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? … ? P + 1 由假設可知，Q 是一個合成數。 同時，將 Q 除以任何質數都餘 1， 所以所有的質數都不是 Q 的因數！ 這是不可能的 !!! 所以質數有無窮多個。（證完） 關於質數的一些疑問 質數有多少個？ 如何判斷一個數是質數？ 例如：2003？ 又例如： 9 909 408 073？ 有沒有能夠計算所有質數的公式？ 默森質數 默森（Marin Mersenne; 1588 ? 1648） 默森質數 22 ? 1 = 3 默森質數 於是默森提出以下結論和猜想： 最大質數 當今發現最大的質數： 213466917 ? 1 發現者：加拿大人金馬倫（Michael Cameron ） 日期：2001 年 11 月 14 日 費馬質數 費馬（Pierre de Fermat;1601 ? 1665） 費馬質數 費馬質數（1640）： 費馬質數 費馬猜想所有寫成 22n + 1 形式的數都是質數。 歐拉 歐拉（Leonhard Euler; 1707 - 1783） 證明 記 a = 27 和 b = 5。 那麼 a ? b3 = 3 而 1 + ab ? b4 = 1 + (a ? b3)b = 1 + 3b = 16 = 24。 ? 225 + 1 = 232 + 1 = (2a)4 + 1 = 24a4 + 1 = (1 + ab ? b4)a4 + 1 = (1 + ab)a4 + (1 ? a4b4) = (1 + ab)(a4 + (1 ? ab)(1 + a2b2)) 即 232 + 1 可被 1 + ab = 641 整除！ （證完） 備註：232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 ? 6 700 417 歐拉 歐拉的發現不單否定了費馬的猜想，而它亦提供了分解費馬質數的方法。 高斯 高斯（Carl Friedrich Gauss; 1777 ? 1855） 高斯 19 歲那年提出以直尺和圓規繪畫正 17 邊形的方法。 正 17 邊形作圖法 歐拉與質數 641 是 225 + 1 的因數。 以 ?(n) 表示不大於 n 的質數數量。例如： ?(10) = 4、?(100) = 25 …… 等 若 n 趨向無窮大，則 ?(n) / n 趨向 0 。（即當 n 越大時，質數的「密度」會越小。） 歐拉與質數 哥德巴赫猜想（1742） 哥德巴赫猜想論證歷程 1920 挪威 布朗 9 + 9 1948 匈牙利 瑞尼 1 + c 1958 中國 王元 2 + 3 1962 中國 潘承洞 1 + 5 1963 中國 王元、潘承洞 1 + 4 1965 蘇聯 維諾格拉道夫 1 + 3 1966 中國 陳景潤 1 + 2 陳景潤 福建省，福州人 生於 1933 年，在貧窮和戰火之中長大。 1957 年獲得華羅庚提拔，進入北京科學院當研究員。 1966 年首次發表他對「哥德巴赫猜想」的研究成果。 陳景潤 1966 年，陳景潤起初提出了一篇長達 200 多頁的論文來證明 {1 + 2}。 您移動了群山 1973 年，英國數學家哈伯斯坦（Halberstam）和德國數學家李希特（Richert）合著了一本名為《篩法》（Sieve Methods）的書。 得到香港大學 廖明哲教授的幫助，獲得陳景潤論文的複印本，並將該結果加入成該書的最後一章，並稱之為「陳氏定理」。 後來，哈伯斯坦寫信給陳景潤，稱讚他說：「您移動了群山！」 無法克服的困難 雖然陳景潤成功地完成了 {1 + 2} 的證明，但是他在他的著作《數論概貌》(1990) 中卻這樣寫道： 「1966 年，我利用所提出的新的加權篩法，證明了：一個充份大的偶數，都可以表示為一個素數與一個不超過兩個素數的乘積之和。這是至今對猜想 (A) 的最好結果。」 無法克服的困難 「在這裡，我們取權函數 ?(a) = 1 ? ??1(a) ? ? ?2(a)，雖然使估計變得更困難，但是最終還是證明了命題 {1 + 2}。需要指出的是，這種加篩權法不可能用來證明命題