第11章控制系统的状态空间分析.pdfVIP

麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.241：动态系统－2003 年秋 复习 6 李亚普诺夫方法 在这一小节中我们将回顾稳定性的概念，并使用李亚普诺夫直接法、间接法对系统平 衡点附近的稳定性进行分析。接下来我们将提供一系列的例子。 稳定性的定义 • 考虑一个自由（时不变）非线性系统，该系统可以描述为x (t) f (x(t)) 。这个系统的一个 − − 平衡点 就是方程f (x ) 0 的一个根。因为任意一个平衡点 不在原点的系统都可以很方便 x − 的转化为一个平衡点在原点的相似系统（例如，令z x −x ），所以在定义中，我们假定所 讨论的系统的平衡点在原点。 如果对于任意给定的ε0 ，都存在δ 0 ，使得若 ， 对于一切t t 都 x (t ) δ x (t ) ε 0 0 成立，那么称系统在原点附近的平衡点是李亚普诺夫意义下稳定的（i.s.L ）。如果系统在原 点附近的平衡点附近是稳定的，并且存在α0 ，使得若 x (t ) α ，则当t →∞时 0 x (t ) →0 ，那么称系统是李亚普诺夫条件下渐近稳定的。如果lim x (t ) 0 在任意初始条件， t →∞ 即x (t ) 在状态空间的任意位置都成立，那么系统是全局渐近稳定的。 0 李亚普诺夫直接法 • 总体说来，证明一个形如x (t) f (x(t)) 的非线性系统在原点附近的全局渐近稳定性是一个 非常困难的工作，其难度相当于在任一初始条件x (t 0 ) 下求解x (t) 的封闭解的表达式。对于 • 线性时不变系统（x (t) Ax(t) =+Bu(t) ），我们得到封闭解表达式，即： t A t t ( − )