《电动力学》第8讲§2.2静电势的多极展开.docVIP

第8讲 静电势的多极展开 第二章 电磁场的标势、矢势和电磁辐射(2) §2.2 静电势的多极展开 1. 电势的多极展开 在§2.1中我们导出了真空中给定电荷密度 ρ（x） 激发的电势 （2.2---1）式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点x和源点x 的距离。 在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，即在（2.2---1）式中，r远大于区域V的线度l 。在这种情况下，可以把（2.2---1）式表为 1/r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。例如原子核的电荷分布于 ~10 ?15 m线度的范围内，而原子内电子到原子核的距离 ~10 ?10 m，因此原子核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似值。 在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有 x 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x 各分量看作小参量， 把 x ?x 的函数对 x 展开。设 f（x ?x）为 x ?x 的任一函数，在 x点附近 f（x ?x）的展开式为  取 f（x ?x）= 1 / | x ?x | = 1 / r ,有 （2.2---2）把展开式（2.2---2）代入（2.2---1）式中得  （2.2---3）令 （2.2---4） （2.2---5） D ij （2.2---6）（2.2---3）式可写为 （2.2---7）上式是电荷体系激发的势在远处的多级展开式。p称为体系的电偶极矩，张量D ij称为体系的电四极矩。电四极矩也可以用并矢形式（附录Ⅰ.6）写为 （2.2---6a）而展开式（2.2---7）的第三项用并矢形式写为 2. 电多极矩 现在我们讨论展开式（2.2---7）各项的物理意义。展开式的第一项 （2.2---8）是在原点的点电荷Q激发的电势。因此作为第一级近似，可以把电荷体系看作集中于原点上，它激发的电势就是（2.2---8）式。 展开式的第二项 （2.2---9）是电偶极矩p产生的电势。电荷分布的电偶极矩p由（2.2---5）式定义。 如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。因为由（2.2---5）式，若 点x 和 ?x 点有相同的电荷密度，则积分值为零。因此，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。总电荷为零而电偶极矩不为零的最简单的电荷体系是一对正负点电荷。设 x 点上有一点电荷 +Q ，? x 点上有一点电荷 ?Q ，由（2.2---5）式，这体系的电偶极矩为 （2.2---10）l为由负电荷到正电荷的距离。 图2—11示具有偶极矩 pz = Q l的电偶极子，它产生的电势为 由图，若 l R ，有 ， （2.2---11）因此这电偶极子产生的电势是 （2.2---12）与（2.2---9）式相符。 展开式（2.2---7）的第三项 （2.2---13） 是电四极矩 D ij 产生的电势。电荷体系的四极矩 D ij 由（2.2---6）式定义。根据此式，电四极矩张量 D ij 是对称张量，它由6个分量 D 11 ，D 22 , D 33 , D 12 = D 21 , D 23 = D