第19届希望杯.docVIP

摘自21世纪教育网站 第19届 “希望杯”初中试题刍议 2008年第19届全国“希望杯”数学邀请赛已经落下了帷幕。作为数学爱好者总要回味今年的试题.，交流学习试题的体验。 “希望杯”初中试题的内容那样的基本，粗看平淡无奇，细品则另有醇美的风味. 正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形面积为（ ） 答案：选由于A正方形，所以A到两组对边的距离之和相等，1+6=2+5，于是，正方形的边长只能为7，故面积是72=49（平方单位）正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，69. 平行四边形内一点到四条边的距离分别是1，2，3，4，那么，这样的平行四边形的面积最是（ ）. （A）21 （B） 22 （C） 24 （D） 25. 答：选（A）. 如图所设，和是平行四边形的两条边长，和是平行四边形的两条高，面积. 从1，2，3，4共有3组组合可作为为和，其中 时，最小. 例1. 如图，A和B两个小机器人，自甲处同时出发相背而行，绕直径为整数米的圆周上运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，问圆周直径至多是多少米至少是多少米？（取）圆直径为。设A和B的速度和是每分钟米， 分；他们15分钟内相遇7次， ① 如果A的速度每分钟增加6米，A加速后的两个机器人的速度和是每分钟米，则A和B在15分钟内相遇9次， ② 本题不是列方程，而是列不等式来描述题设的数量关系，这对一般学生可能比较生疏，体现了基本技能的灵活性。 　　由①，得由②，得， 　　上面两式相加，则有 ， . 直径为整数米所以，圆周直径至多是28米，至少是10米 将行程问题与不等式的整数解联系起来，使行程问题的老题型有了新意，运算与表达难度对初一学生适中，可以综合考察学生的数学素养与数学能力。 二、问题不难，思路不难，解法不难，深层联系须挖掘 我们着重分析初二2试的第22题的来龙去脉. 杠杆在直角坐标轴上滑动，是非常典型的题型，对研究轨迹，函数、极值、导数都有重要意义.从小学到大学，都属常见的基本题型.比如： 1. 图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距 O点15厘米。问： 当滑块A向下滑到O点时，滑 块B 滑动了多少厘米？ 【答】滑块B滑动了10厘米。 【理由】由 ， 可知连杆的长度等于25厘米。当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25厘米，故滑块B滑动了 2.“给定直角XOY，一条定长（记为）的线段AB两端在角的两边上滑动，求AB中点P的轨迹.（轨迹是以O为中心，为半径的圆被定直角XOY截出的四分之一圆弧，解略） 把定长线段变为一个直角三角形的斜边，可得 3.“在直角坐标系中，满足， 点A，B分别在轴、轴上，当A点从原点开 始在正轴上运动时，点B随着在正轴上运动（图 4） .求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形 应满足什么条件？”（OC的最大值是10，当A点重合于O时可达到） 如果求的线段的一端C不是直角的顶点，比如将直角板翻过来放，将C放在轴上，求原点O到点B的距离OB的最大值，就改编成了19届初二2试的第22题. 并且有意识地安排成了3问的阶梯型，启发作题的思维过程. 例2. 在直角坐标系中，满足，点A，C分别在轴、轴上，当A点从原点开始在正轴上运动时，点C随着在正轴上运动. （1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？ 解答分析：（1）当A点在坐标原点时，如图5， AC在轴上，轴， 所以 目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的 基本应用与计算. （2）当时，如图6，是等腰直角三 角形，AC = 2.，所以 ， 过点B作于E，过点C作且CD 与BE交于点D，则 又BC=1， 所以 因此 本问就当时，求原点O到点B的距离OB.为求“原点O到点B的距离OB的最大值” 是个方法性的提示. 那么如何找这 个最大值呢？一般地我们也可以通过如下的代数的途 径求得这个极值. 解: 如图7所示，设过C作， 由于所以 由可以得B点的坐标 为.则 当时，所以 这种解法所用的三角函数，显然超出了初二的知识范围，我们写出来是为了给大家参考.有没有可供初二学生接受的直观的妙着呢？有的！请看： （3）如图8，取AC的中点E，连结OE，BE. 在Rt中，OE是斜边AC上的中线，所以 在中，BC=1， 所以 若点不在一条直线上，则 若点在