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變異量數(measures of variation) 　　　　　　　　　　　　　　葉玉賢 本章重點 1. 變異量數的探討（四分位差） 2.變異數與標準差(Standard Deviation, SD或簡稱S) 3.相對差異係數：變異係數 變異量數的探討 　　變異量數的探討 變異量數(measures of variability)的意義： （1)變異量數是用來了解團體分數的分散情形的指標，數值越大，團體分數分散越大，變異越大。 （2)變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可反映出平均數代表性的大小。 （3)教育學術領域中，通常把變異量數分為：絕對變異量數（有單位的：例如全距、四分位差、平均差、標準差、變異數）／相對變異量數（無單位的：例如變異係數、標準分數） 　例如：探討全校男同學體重的變異程度。 練習： Example: Ａ班的數學分數（共10人） 20, 35, 50, 50, 65, 65, 65, 80, 90, 100 ∑?= 520 X=52 Ｂ班的數學分數（共10人） 50, 50, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 58, 58 ∑?= 520 X=52 集中量數／變異量數的差異(分散情形不同，集中情形相同) 變異量數的種類 全距 四分差 平均差 標準差與變異數 何謂全距？ 全距（Range）是指群體全部數值的變動範圍，是計算變異量數的最簡單方式、粗造且壟統的指標。 （一）定義：全距是指團體中最大值與最小值的差，可用ω（讀做omega）表示。 （二）全距是表示分散情形最簡陋的方式，適用於等距變數，而不適用於次序變數。 （三）公式 ω = XH - XL 例子：假定XH=75，XL=32，則全距有兩種表達方式： ω = XH - XL = 75－32 = 43 ω = XH - XL = 75.5－31.5 = 44 全距特性： 　1. 只考慮最大值與最小值，容易忽略其他數值的分散情形； 　2.容易受極端分數的影響，故十分不穩定； 　3.全距是變異量數中最簡易的方法，計算簡單明瞭。 　4.抽樣個數越多，全距越大，反之，全距越小。 四分(位)差的概念 四分差（Q）指的是團體中最中間的50%的人分數的一半，我們要取的是次數分配中的那一個25%的距離到底是多少？ Q1=1/4 N的分數，Q2=2/4 N的分數（Md），Q3=3/4 N的分數。 四分位差不是一個點，而是一個距離。 公式： 四分(位)差的概念 （四）在已歸類資料時的公式： L1 = 第一四分位數所在組的真正下限 F1 = L1以下的累積次數 fQ1 = 第一四分位數所在組的次數 h = 組距 N = 總人數 四分位差的演算 例子：55名學生成就測驗表，試求這55學生的： 變異數與標準差 變異量數的概念-標準差(Standard Deviation, SD) 所謂標準差，是指用∑(X-?)的方式來表示分數分散的情況。 在算出標準差之前，需算出離均差平方和（sum of square of deviation from the mean,簡稱SS），代表每一個分數與平均數的距離量數。 SS= ∑(X-?)2 =∑x2　（離均差平方和） S2 =∑x2/n （變異數） 　SD= √ ∑x2/n 從標準差公式的涵義可知下列幾項事實 當團體人數只有一人，S2, S=0，因為沒有個別差異存在，所以就沒有變異數或標準差的存在。 當團體中的所有人分數都相同的時候， S2, S=0，因為此時每個分數＝Ｘ。 ㄧ個團體中至少要有兩個人存在，並且其中一人的分數與其他分數不相等時， S2, S才會存在，且大於０。 變異數與標準差 （一）為了解團體裡分散的情形，最好的方法就是計算所有分數到平均數的距離。 （二）然而平均數位於所有數值的中間位置， ，必須去除掉負號才能了解確切的分散情形。 （三）除了使用絕對值觀念的平均差（AD）以外，我們還可以將每一個 加以平方並總加成 ，這就是離均差平方和（sum of square of deviation from the mean, SS） （四）如果我們再把SS除以總次數N，則可得到變異數S2（variance），再將之開根號，便可得到標準差SD（standard deviation）。 該班學生的智育成績的變異情形？（未歸類） 72, 73, 79, 81, 81, 82, 85, 85, 85, 87 87, 89, 89, 90, 90, 91, 91