指數函數與對數函數.docVIP

指數函數 指數函數 (exponential function) --- ， 稱為指數含數的基底 (base)，X 稱為指數含數的 exponent。一般說來，指數函數的基底都是比 0 大的數字，譬如說，10 或是 2；e = 2.718281828459 … 稱為自然基底，微積分著眼於以 e 為基底的指數函數、對數函數。 Ex1. 複習指數函數的代數運算，以及使用計算機算出答案 --- (1) (2) (3) 指數函數的圖形， --- ， 把 X 變成 –X ( ，函數圖形變成 同時畫出這二條曲線，發現它們以 X 軸為對稱軸 --- 化學反應的平衡常數和反應溫度的關係式是 ， 是這個反應在標準狀態 (STP) 下的 Gibbs 自由能；標準狀態是指 298.15 K，反應物、產物是純液體或是純固體，液體與固體表面的壓力是 1 atm，反應物、產物是氣體，氣體本身的壓力是 1 atm，反應物、產物是溶液，溶液表面的壓力是 1 atm，參與反應的溶質濃度是 1 M。 Ex2. 室溫下 CH3COOH(aq) 的 Ka = 1.8 × 10-5，計算 50 ℃ 時醋酸的 Ka =？ Ex3. 一級反應 “A ( 產物” 的反應速率是 ，經過積分後發現 ；如果 k = 0.054 s-1，計算要經過多久反應物剩下一半？ 4. 實驗測量的結果雖然有一個理論值 (或是說理想值)，但是實驗的誤差會讓得到的結果每一次都不一樣；如果同一個實驗一再重複，比較每次測量結果與理論值，會得到下面的分佈 --- X 表示每次測量結果與理論值的差： 這個圖形本身就是以 X 軸為對稱軸，換句話說，X = 2.3 算出來的 Y 和 X = -2.3 算出來的 Y 相同 ( Y(-X) = Y(X)，這種函數稱為偶函數。 如果Y(-X) = -Y(X)，這種函數稱為奇函數。 Ex4. 和 ，那一個是偶函數？那一個是奇函數？ 對數函數 對數函數和指數函數互為反函數，如果說 可以算出 X = 2 ( Y = 7.389，那自然基底的對數函數可以讓我們算出 X = 7.389 ( Y = 2。 另一種說法，確定基底之後，先計算指數函數再計算對數函數，或是先計算對數函數再計算指數函數，都會得到原先的數值。 以 10 為基底的對數函數寫成 ；因此，，，，。 如果基底不是 10，而是任何大於 0 的實數 --- a，對數函數寫成 ；以 e 為基底的對數函數寫成 。 Ex1. 練習用計算機算出 lnX 的數值；畫出 X 0 的函數圖形。 ， 。 Ex2. 設定 XY 座摽，同時畫上 Y = lnX 和 Y = eX 的函數圖形，找出這二條曲線的對稱軸。 對數函數的代數運算 基底相同 --- ， ，； (2) 基底不同 --- ， 。 Ex3. ， Ex4. 參考指數函數與對數函數的圖形，畫出下列函數的圖形，並且找出它的極限值：(1) ，=？ (2) ，=？ Ex5. 水溶液的酸性由 pH 值決定，pH =－log[H+]；已知室溫下 CH3COOH(aq) 的 Ka = 1.8 × 10-5，在 1 L 的純水中加入 0.01 莫耳的醋酸，平衡以後，溶液的 pH 值是多少？ Ex6. 化學反應的平衡常數和溫度的關係式是 ， 是這個反應在標準狀態 (STP) 下的反應熱 (enthalpy)。利用指數函數那一節的 Ex2 算出醋酸解離反應的 =？ Ex7. 化學反應的速率常數和溫度的關係式是 ，Ea 是反應的活化能，A 是一個比例常數。如果在不同溫度測量一個反應的速率常數得到 溫度 (℃) k 22.2 7.0 × 10-4 27.2 9.8 × 10-4 33.7 1.6 × 10-3 38.0 2.0 × 10-3 利用計算機的線性規劃找出 Ea =？ A =？