经济数学 作者 王洪明 周秀君 第2章 极限与连续.pptVIP

第2章 极限与连续 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.1 极限 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 2.3 函数的连续性 本章小结 例２．３０ 讨论 处间断点的类别． 解 因为 例２．３１ 解 进一步可知，当x→０时， 在－１和１之间振荡， 所以x＝０是 的振荡间断点． 一、本章主要内容及学习要点 １． 极限的概念 ２． 无穷小与无穷大的概念 ３． 连续的概念 ４． 函数的间断点及其类型的判定 ５． 极限的计算方法 ６． 求函数连续区间的方法 二、重点与难点 １． 重点 ２． 难点 经济数学 Economic mathematics 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 学习目标 了解极限的描述性定义，左右极限的定义． 握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限． 了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利用其求极限． 理解并会利用无穷小的比较求极限方法． 了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性． 了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点． 2.1.1 数列的极限 1. 极限的概念 图2.1 图2.2 图2.3 定义 设有数列｛an｝，当n无限增大时， an无限接近于某个确定的常数 ，那么 就称为数列｛ an｝的极限，记作 此时，也称数列｛ an｝收敛于 ，否则称数列没有极限，或称数列发散． 2. 数列极限的性质 性质１ 若数列收敛，则其极限值必唯一． 性质２ 若数列收敛，则它必有界． 性质３ 单调有界数列必有极限． 2.1.2 函数的极限 1. x→ ∞ 的情形 定义 如果当x无限增大时，函数∫（x）无限地接近于某一个确定的常数 ， 则称 为函数∫（x）当x→ ∞ 时的极限，记作 例2.1 判断当x→ ∞时， 的极限情况． 解 如图2.4为 的图像，可以看出，当 和x→－ ∞ 时，图像无限接近于零，所以 即x→＋ ∞ 图2.4 定理当x→ ∞ 时，函数∫（x）的极限存在的充分必要条件是当x→＋∞ 时和x→－∞ 时函数∫（x）的极限都存在而且相等，即 2. x→x0 的情形 定义设函数∫(x)在x0 的左右两侧有定义， 如果当x无限接近x0 时， 函数值∫(x)无限接近于某一确定的常数 ，则称 是函数∫(x)当x→x0 时的极限，记作 定义 当x从x0左侧（或右侧）无限接近于x0 时，函数∫(x)无限地趋于某一确定的常数 ，则称 时，函数∫(x)的左(右)极限为 ，记作 例2.2 求当x→１时，函数∫（x）＝２x＋１的极限． 解 如图2.5所示，当x从１的左右两侧接近于１时，对应的函数值从数值３两侧无限接近于３，因此 图2.5 图2.6 例2.3 当x→1时，函数∫(x)的极限情况 解 如图2.6所示，x无限接近于１时，∫(x)的函数值从数值4的两侧无限接近于4，即 例2.4 设函数 解 如图2.7所示，当x从０的右侧接近于０时，函数值∫（x）接近于数值１，即 当x从０的左侧接近于０时， 函数值∫(x)接近于数值-1， 关于函数∫(x)在一点处极限存在有如下定理: 定理 图2.7 图2.8 例2.5 设函数 问当x→０时， ∫(x)的极限是否存在？若存在是多少？ 解 如图2.8所示，当x从０的左侧接近于０时，有 ０；当x从０的右侧接近于０时，有 存在的定理知，函数∫(x)在x→０时极限存在， 根据极限在一点处 2.1.3 函数极限的性质 性质１ （唯一性）如果函数∫(x)的极限存在，则极限值唯一． 性质２ （夹逼定理）设函数∫(x)，g(x) ，h(x)在x0的左右两侧满足条件： 则 2.1.4 函数极限的四则运算法则 定理 如果 则 例2.6 求 解 例2.7 求 解 例2.8 求 解 习题2.1 见课本P21。 2.2.1 两个重要极限