经济数学 作者 王洪明 周秀君经济数学-修订版3.4.5章 第4章 导数的应用.pptVIP

4.2 洛必达法则 4.2 洛必达法则 4.3 函数单调性的判别 4.3 函数单调性的判别 4.3 函数单调性的判别 4.3 函数单调性的判别 4.3 函数单调性的判别 4.3 函数单调性的判别 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.4 函数的极值与最值 4.5 函数图形的凹向与拐点 4.5 函数图形的凹向与拐点 4.5 函数图形的凹向与拐点 4.5 函数图形的凹向与拐点 4.5 函数图形的凹向与拐点 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 4.6 导数在经济分析中的应用 ２． 边际收入 设销售某种产品数量q时的总收入函数为R＝ R（q）， 则边际收入函数 为，记作MR，即MR＝R′（q） 例4.43 设某产品的需求函数为P＝２０－q/５，其中狆为价格，狇为销量，求销售量为１５个单位时的总收入、平均收入与边际收入，并求当销售量从１５个单位增加到２０个单位时，收入的平均变化率． 解 总收入函数为 故销售量为１５个单位时， 总收入 平均收入 边际收入 收入的平均变化率 ３． 边际利润 设销售某种产品数量狇时的利润函数为L＝ L（q）， 则边际利润为 因为利润函数lL（q）＝R（q）－C（q） 所以由导数的运算法则知 例4.44 某煤炭公司每天生产煤狇吨的总成本函数为C（q）＝2000＋450q＋0.02q２，如果每吨销售价为490元，求： （１）边际成本函数C′（q）； （２）利润函数L（q）及边际利润函数L′（q）； （３）边际利润为０时的产量． 解 （１）因为C（q）＝2000＋450q＋0.02q２ 所以C′（q）＝450＋0.04q （３）边际利润为零０，即L′（q）＝－0.04q＋40＝０ 可得q＝1000（吨） （２）因为总收入R（q）＝pq＝490q 所以利润函数 边际利润函数 4.6.2 弹性分析 设函数y＝f（x）在x处可导，则函数的相对改变量 与自变量的相对改变量 称为函数f（x）从x到x＋Δx两点间的弹性．当Δx→０时， 的极限 称为f（x）在x处的弹性．在经济学中，设某种商品的 市场需求量为q，价格为p，需求函数q＝f（p）可导，则称 为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性． 由导数的定义可得 从而 例4.45 某商品需求函数为q＝１０－p/２，求： （１）需求价格弹性函数； （２）当p＝３时的需求价格弹性． 解 （１）需求弹性： （２）当狆＝３时，需求价格弹性 本章小结 一、本章主要内容及学习要点 1. 中值定理 2. 洛必达法则 3. 函数的单调性 4. 函数的极值与最值 5. 曲线的凹凸性与拐点 二、重点与难点 1. 重点 2. 难点 6. 边际函数 7. 弹性 经济数学 Economic mathematics 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第4章 导数的应用 学习目标 了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论． 熟练掌握用洛必达法则求 型和 型未定式极限的方法． 掌握函数单调性的判别法，会求单调区间． 理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，掌握求极值的方法． 掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点． 了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值， 熟练掌握求平均成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法． 理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法． 4.2 洛必达法则 4.2.1 型不定式，有如下定理． 定理 (洛必达法则) 设函数f(x)，g(x)在x0 的左右两侧可导，且满足： 例4.6 解 这是 型不定式，且满足洛必达法则条件，故有 例4.7 解 例4.8 解 例4.11 这是 类型，应用洛必达法则． 解 例4.12 解 例4.13 解 原式 利用拉格朗日中值定理， 导出一个根据导数符号确定函数单调性的简便方法． 图4.2 从图4.2可以看出：如果函数在某区间上单调增加(单调减少)，则它的图形是随x的增大而上升(下降)的曲线，如果所给曲线每一点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负(非正)， 即f′(x) ≥０(f′(x)≤０)． 定理