经济数学 作者 王洪明 周秀君经济数学-修订版3.4.5章 第3章 导数与微分.pptVIP

3.2 求导法则 3.2 求导法则 3.2 求导法则 3.2 求导法则 3.2 求导法则 3.2 求导法则 3.2 求导法则 图3-3 3.3.3 微分基本公式与运算法则 1. 微分基本公式 2. 函数的和、差、积、商的微分运算法则 设u（x）、v（x）都是可微函数，则有 3. 复合函数微分法则 设函数y＝f（u）可微，根据微分的定义，函数y＝f（u）的微分是 如果u不是自变量，而是狓的函数u＝φ（x）且可微，则复合函数y＝f［φ（x）］的导数为 于是，复合函数y＝f［φ（x）］的微分为 由于 所以 例3.31 解 例3.32 解 例3.32 解 3.3.4 微分在近似计算中的应用 从微分的定义可知，Δy≈dy，（当|Δx|很小），即 例3.35 某工厂每周生产x件产品所获得利润为y元，已知 当每周产量由100件增至102件时，试用微分求其利润增加的近似值． 解 由题意，x＝100，Δx＝dy＝102-100＝2， 因为 例3.36 解 则 在公式（3.2）中，令x0 +Δx＝x，且x0 ＝0，则公式（3.2）变为 利用公式（3.2）可以推得下面几个在工程上常用的近似计算公式 例3.37 证明下列近似式． 证： （１）令f(x)＝ex，则f′（x)＝ex , 当x＝０时，f(０)＝1，f′(０)＝1，由f(x)≈f(０)+f′(０)x得ex≈1＋x． （２）令f(x)=ln(1+x)，则 当x＝0时，f(0)＝0， f′(0)＝1，由f(x)≈f(0)＋f′(0)x得ln(1+x)＝x． 本章小结 一、本章主要内容及学习要点 1. 导数的概念 2. 导数的计算 3. 微分 4. 可导（可微）与连续的关系 二、重点与难点 1. 重点 2. 难点 经济数学 Economic mathematics 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第3章 导数与微分 学习目标 理解导数的概念， 导数的几何意义， 会求曲线的切线方程， 了解可导与连续的关系． 了解左右导数的概念，了解可导的充要条件． 熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求导法则． 会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数． 了解微分概念，掌握求微分的方法． 3.1 导数的概念 3.1.1 两个引例 １． 变速直线运动的瞬时速度 设一物体做变速直线运动， 其运动方程（路程s与时间t之间的函数关系）为s＝s（t），求该物体在t０ 时刻的瞬时速度． 当时间由t０ 变到t０ ＋Δt时，物体经过的路程为 从t０ 到t０ ＋Δt这一段时间的平均速度 表示为 当Δt很小时，可以用 近似表示为物体在t０ 时刻的瞬时速度，Δt越小， 就越接近物体在t０ 时刻的瞬时速度．而t０ 时刻的瞬时速度即为平均速度当Δt→０的极限，即 3.1 导数的概念 ２． 切线的斜率 图３.１ 3.1 导数的概念 设曲线L的方程为y＝f(x) , 求此曲线上点M处切线的斜率k（图３.１） 设M、N是曲线L上的任意两个定点，作直线MN，称MN为曲线L的割线，当点N沿曲线L趋于定点M时，割线MN趋于极限位置MT，称MT为曲线L在点M处的切线． 下面求切线MT的斜率k．设点M的坐标为（x０，f(x) ），点N的坐标为（x０ ＋Δx， f(x0 ＋Δx）），割线MN对x轴的倾角为φ，切线MT对x轴的倾角为α，割线MN的斜率为 当Δx→０时， 点N就沿曲线L趋于点M，此时割线MN就随之趋于它的 极限位置MT，所以当Δx→０时，若 的极限存在，则 定义此极限值为曲线L在点M处的切线MT的斜率k，即 3.1 导数的概念 3.1.2 导数的定义 定义 设函数y＝f(x)在点x０ 及近旁有定义，当自变量x在x０ 处取得增量Δx时，相应的函数y取得增量Δy=f(x0＋Δx）-f(x0) ；如果极限 则称函数y＝f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y＝f(x)在点x０ 处的导数，记作； 如果极限不存在，则称函数y＝f(x)在点x０ 处不可导． 定义 设函数y＝f(x)在x０ 点及左侧（右侧）有定义，若极限 3.1 导数的概念 存在，则称此极限为函数y＝f(x)在点x０ 处的左（右）导数，记作 也可写成另一种形式 定理 函数y＝f(x)在x０ 点可导的充分必要条件是它在这一点处的左、右导数存在且相等． 左右导数的定义及定理主要用于判断闭区间的左右端点的可导性及分段函数分界点处的可导性． 3.1 导数的概念 例3.1 解 因为f(0) =１，所以有 3.1 导数的概念 3.1.